人教B版高中数学必修第三册课后习题 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2.4 第1课时 半角公式.docVIP

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8.2.4三角恒等变换的应用

第1课时半角公式

课后训练巩固提升

A组

1.如果cosθ=-15,5π

A.105 B.-105 C.15

解析∵5π2θ3π,∴5π

∴sinθ20,∴sinθ2=-1-cosθ2

答案D

2.若θ是第二象限的角,且cosθ20,则1

A.-1 B.12 C.1

解析∵θ是第二象限的角,且cosθ2

∴2kπ+5π4θ22kπ+

∴cosθ2sinθ

1

=cos

=-1,

故选A.

答案A

3.化简sin2x·1+tanx·

A.2sinx B.2cosx

C.2sin2x-2sinx D.tanx

解析∵1+tanx·tanx2=1+tanx·1-cosxsinx=1+1-cosxcosx

答案A

4.若f(x)=cos(3x+φ)-3sin(3x+φ)为偶函数,则φ可以取的一个值为()

A.π6 B.π3 C.-π

解析f(x)=cos(3x+φ)-3sin(3x+φ)=-2sin3x+φ-π6.因为f(x)为偶函数,所以只需使φ-π6为π2的奇数倍即可.因为-π

答案D

5.(多选题)下列各式中,值为12

A.2sin15°cos15° B.2cos2π12

C.1+cos30°2

答案AD

6.设-3πα-5π2,则化简1-cos

解析∵-3πα-5π2

∴-3π2α

1-cos(

答案-cosα

7.化简:1+cos2αtanα2

解析原式=1+cos2αsinα2

答案-12

8.函数y=3sinxcosx+3cos2x-32的最大值为;最小正周期为

解析∵y=32sin2x+3·1+cos2x2-32=32sin2x+32cos2x=312sin2x+32cos2x=3sin

答案3π

9.已知tanα=2.求:

(1)tanα+π

(2)sin2αsi

解(1)tanα+π

(2)sin2α

=2sinαcosα

=2tanα

=2×2

=1.

10.设函数f(x)=2cos2ωx+sin2ωx-π6+a(其中ω0,a∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.

(1)求ω的值;

(2)设f(x)在区间π6,π

解f(x)=1+cos2ωx+32sin2ωx-12cos2ωx+a=sin

(1)由2ωx+π6=2kπ+π2(k

得ωx=kπ+π6(k∈

又ω0,故当k=0时,函数f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x=π6ω

(2)由(1)知f(x)=sin2x+π

由π6≤x≤π3,得π3≤2x≤2π3,π2≤2x+π

由12+a+1=3,得a=3

B组

1.设a=12cos7°+32sin7°,b=2tan19°

A.bac

B.abc

C.acb

D.cba

解析a=sin(7°+30°)=sin37°,b=tan38°sin38°sin37°=a,c=1-

∵y=sinx在区间[0°,90°]上单调递增,

∴sin38°sin37°sin36°,

∴bac.

答案A

2.已知α为锐角,且sinα∶sinα2=3∶2,则tanα2

A.74 B.53 C.7

解析sinαsinα2

∴cosα2=3

∴sinα2

∴tanα2

答案C

3.若2sinθ=1+cosθ,则tanθ2

A.12 B.1

C.2 D.2或1

解析若1+cosθ=0,则cosθ=-1,θ=(2k+1)π,k∈Z,此时θ2=kπ+π2(k∈Z),则tanθ2

答案B

4.已知450°α540°,则12+

A.-sinα2 B.cos

C.sinα2 D.-cos

解析∵450°α540°,∴225°α2

∴cosα0,sinα2

∴原式=1

=1

=1

=-sinα2

答案A

5.若θ是第二象限角,且25sin2θ+sinθ-24=0,则cosθ2=

解析由25sin2θ+sinθ-24=0,得sinθ=2425

∵θ是第二象限角,∴sinθ=2425

∴cosθ=-1-sin

又θ2

∴cosθ2=±1+cosθ2

答案±3

6.设p=cosαcosβ,q=cos2α+β2

解析∵p-q=2cos

=2cos

=cos(α-

答案p≤q

7.求证:cos

证明∵左边=cos2αtanα21-tan2α2

8.已知函数f(x)=cosxsinx+π3-3cos2

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)在闭区间-π

解(1)由已知,得f(x)=cosx·(12sinx+32cosx)-3cos2x+34=12sinx·cosx-32cos2x+34=14