专题04双曲线的概念与几何性质（考点清单，知识导图+3考点清单+10题型解读）（解析版）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）.docx

专题04双曲线的概念与几何性质

【清单01】双曲线的概念与标准方程

一.双曲线的定义

1.定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.

2.焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.

注意：1.若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；

3.若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；

4.若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；

5.若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。

二.双曲线的标准方程

1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；

2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中

【清单02】双曲线的渐近线、离心率及几何性质汇总

一.等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝eq\r(2).

二.双曲线与渐近线的关系

1、若双曲线方程为渐近线方程：

2、若双曲线方程为（a＞0，b＞0）渐近线方程：

3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，

4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）

三.离心率

1.定义：e＝c

2.范围：(1，＋∞)

3.拓展：=1\*GB3①e2=c2a2=a2+b2a2=1+

四.双曲线的几何性质汇总

标准方程

eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)

eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a0，b0)

性质

图形

焦点

F1(－c,0)，F2(c,0)

F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距

|F1F2|＝2c

性质

范围

x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)

y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)

对称性

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)

A1(0，－a)，A2(0，a)

轴

实轴：线段A1A2，长：eq\a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq\a\vs4\al(2b)；半实轴长：eq\a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq\a\vs4\al(b)

离心率

e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)

渐近线

y＝±eq\f(b,a)x

y＝±eq\f(a,b)x

【清单03】直线与双曲线的位置关系

一．直线与双曲线的位置关系

把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2+bx+

(1)?0时，直线与双曲线有两个不同的公共点

(2)?=0时，直线与双曲线只有一个切点

(3)?0时，直线与双曲线没有公共点

当a=0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点

【特别注意】(1)直线与双曲线的关系中:一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支

(2)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.

(3)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行:

(4)注意对直线的斜率是否存在进行讨论

二．弦长公式

①弦长公式:直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d=1+k

②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时,联立曲线方程和直线方程,根据两点间距离公式并结合韦达定理、点差法进行求解

③双曲线的通径:过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径,无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于2

【考点题型一】双曲线的概念与标准方程

方法总结：

文字语言

平面内与两个定点F1，F2，F的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|

符号语言

||PF

焦点

定点F

焦距

两焦点间的距离

【例1】（23-24高二上·江苏连云港·期中）方程x2+y

A．x2+y

C．y2+x

【答案】D

【分析】移项平方化简可得答案.

【详解】由x2+y

两边平方得2y-1=x2

两边再平方得4y

可化简为y2

故选：D.

【变式1-1】（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知P是圆F1:x+32+y2=16上的一动点，点F23,0

A．x25-

C．x24-

【答案】C

【分析】由题意有QP=QF2，从而有QF1-Q

【详解】如图所示：

∵P是圆F1上一动点，点F2的坐标为3,0，线段PF2的垂直平分线交直线

∴QP=QF

∵P是圆F1上一动点，∴PF1=4

∴F23,0，F1

∴点Q的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且a=2，c=3，得

∴点Q的轨迹方程为x2

故选：C.

【变式1-2】（23-24高二上