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专题11与球有关的切接问题综合
知识点1常见的外接球模型
1、墙角模型
适用范围：3组或3条棱两两垂直；可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合
直接用公式，即，求出
【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑
2、麻花模型
适用范围：对棱相等相等的三棱锥
对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。
推导过程：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，（，，）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为，
，，，列方程组，
，
补充：
第三步：根据墙角模型，，
，，求出.
3、垂面模型
适用范围：有一条棱垂直于底面的棱锥。
推导过程：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，
作小圆的直径,连接,则必过球心.
第二步：为的外心，所以平面，
算出小圆的半径
(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理.
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
（1）；
（2）.
公式：
4、切瓜模型
适用范围：有两个平面互相垂直的棱锥
推导过程：分别在两个互相垂直的平面上取外心、过两个外心做两个垂面的垂线，
两条垂线的交点即为球心0，取BC的中点为，
连接、、、为矩形
由勾股可得
公式：
5、斗笠模型
适用于：顶点的投影在底面的外心上的棱锥
推导过程：取底面的外心，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高，在上取一点作为球心0，根据勾股定理
公式：
6、矩形模型
适用范围：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径
推导过程：图中两个直角三角形和，其中，求外接圆半径
取斜边的中点，连接，则
所以点即为球心，然后在中解出半径
公式：（为斜边长度）
7、折叠模型
适用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠.
推导过程：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，
设折叠的二面角.
如图，作左图的二面角剖面图如右图：
和分别为外心，
分别过这两个外心做这两个平面的垂线且垂线相交于球心
由勾股定理可得：.
公式：
知识点2多面体的内切球
1、正方体的内切球
正方体的内切球球心位于其对角线中点处，
对于变成为a的正方体，其内切球半径为R=a
2、直棱柱的内切球
以直三棱柱为例：直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆，
故直三棱柱内切球半径R等于底面三角形内切圆半径r，
又因为内切球到上下底面距离相等且都为R，
故仅有满足h=2r的直三棱柱有内切球，其中
3、棱锥的内切球
1、方法：一般采用等体积法
2、结论：
（1）以三棱锥为例说明：若三棱锥A-BCD的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为R=
（2）若正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为612
3、推导过程：如图所示，设内切球的半径为R，
则内切球的球心O到每个面的距离相等且等于R，
设?ABC，?ABD，?ACD，?BCD的面积分别为S1，
则VA
即V=13
所以R
【注意】三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球。
特别的：轴截面法
对于正四、六、八棱锥，通过底面对边中点的轴截面的内切圆为棱锥内切球的大圆，该内切圆的半径为内切球的半径。
以正四棱锥为例推导：
设E、F分别为棱AB、CD的中点，
则?PEF的内切圆即为该正四棱锥P
该内切圆的半径为内切球的半径：R=
知识点3旋转体的内切球
1、圆柱的内切球
不是所有的圆柱独有内切球，
只有当圆柱的高h与圆柱的底面半径r满足h=2
即圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球，
此时内切球的半径为圆柱的底面半径r.
2、圆锥的内切球
圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆，
内切圆的半径即为内切球的半径，
设圆锥底面半径为r，高为h，
则S?PAB=
所以R
考点1墙角模型求外接球
【例1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考期中）已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，两两互相垂直，且，若球O的表面积为_____．
【变式1-1】（2022秋·陕西西安·高一统考期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023春·全国·高一专题练习）“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为
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