上海市大同中学2024-2025学年高二上学期10月学情调研数学试卷【含解析】.docx

上海市大同中学2024-2025学年高二上学期10月学情调研数学试卷【含解析】

90分钟满分100分

班级______姓名______学号______

一、填空题（3共36）

1.若两直线a、b与平面所成的角相等，则a与b的位置关系是________．

【答案】平行、相交或异面

【解析】

【分析】根据线面角的定义可分析得出.

【详解】若，显然a、b与平面所成的角相等；

若a、b为圆锥的两条母线所在的直线，显然a、b与平面所成的角相等，此时a、b为相交直线；

若a、b为异面直线，若满足，此时a、b与平面所成的角相等，均为0，

故a与b的位置关系是平行、相交或异面.

故答案为：平行、相交或异面.

2.设为长方体，为直平行六面体，为正四棱柱，为正六面体，则集合A，B，C，D之间的包含关系为________．

【答案】

【解析】

【分析】先判断出四个集合中的元素关系，再根据集合包含关系定义判断即可.

【详解】在这4种图形中，包含元素最多的是直平行六面体，其次是长方体，再其次是正四棱柱（上下底面是正方形的长方体），最少元素的是正六面体.

故答案为:

3.用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则____________．

【答案】1

【解析】

【分析】根据斜二测画法原则可还原,利用面积公式计算即可求解.

【详解】由直观图可还原，如图：

其中，又，

因此，

所以.

故答案为：

4.在图中，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有_________（填上所有正确答案的序号）．

【答案】②④

【解析】

【分析】根据异面直线的定义分别判断即可.

【详解】对①，连接，为中点，，又，，故直线，共面，故①错误；

对②，、、三点共面，但面，因此直线与异面，故②正确；

对③，如图，连接，为中点，，又，，故直线，共面，故③错误；

对④，、、共面，但面，与异面．故④正确.

故答案为：②④.

5.若两异面直线a，b所成的角为70°，过空间内一点P作于直线a，b所成角均为70°的直线l，则所作直线l的条数为______.

【答案】4

【解析】

【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解.

【详解】在空间取一点，经过点分别作，设直线确定平面，如图，

当直线满足它的射影在所成角的平分线上时，与所成的角等于与所成的角，

因为直线，所成的角为，得所成锐角等于，

当射影在所成锐角的平分线上时，与所成角的范围是.

这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是，

当的射影在所成钝角的平分线上时，与所成角的范围是.

这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是，

综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条.

故答案为：4

6.正四面体的棱长为1，则点A到平面的距离为_______

【答案】##

【解析】

【分析】作出辅助线，得到即为点A到平面的距离，为等边三角形的中心，结合勾股定理求出答案.

【详解】取的中点，连接，则⊥，

过点作⊥平面，垂足为，即为点A到平面的距离，

则点在上，且为等边三角形的中心，

因为正四面体的棱长为1，则，

由勾股定理得，则，

因为，由勾股定理得，

则点A到平面的距离为.

故答案为：

7.如图，长方体中，，点在线段上，且为线段的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______．

【答案】##

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，设出相关点及向量的坐标，求出必要参数，利用向量的夹角公式求解即可，或作合适辅助线，利用线线角定义求解也可.

【详解】．

解法一

以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，

则，

所以，则，解得，

所以，所以，设线线角为

则，

因此异面直线与所成角的余弦值为．

故答案为：

解法二

设，因为，所以，得．如图，取线段上靠近点的三等分点，靠近点的三等分点，连接，易知，又，

所以，故为异面直线与所成的角或其补角．

，

所以，因此异面直线与所成角的余弦值为．

故答案为：

8.如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则线段的长为__________.

【答案】

【解析】

【分析】过点作，且，在利用余弦定理可得，再在中利用勾股定理求解.

【详解】

过点作，且，

则四边形为平行四边形，

，

又，

，

，

即为二面角的平面角，即，

在中，，

即，

又，，平面，

平面，

平面,

，，

在中，，

即，

故答案为：.

9.如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为______________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可根据线面角的定义找到