上海市大同中学2024-2025学年高二上学期10月学情调研数学试卷【含解析】.docx

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上海市大同中学2024-2025学年高二上学期10月学情调研数学试卷【含解析】

90分钟满分100分

班级______姓名______学号______

一、填空题(3共36)

1.若两直线a、b与平面所成的角相等,则a与b的位置关系是________.

【答案】平行、相交或异面

【解析】

【分析】根据线面角的定义可分析得出.

【详解】若,显然a、b与平面所成的角相等;

若a、b为圆锥的两条母线所在的直线,显然a、b与平面所成的角相等,此时a、b为相交直线;

若a、b为异面直线,若满足,此时a、b与平面所成的角相等,均为0,

故a与b的位置关系是平行、相交或异面.

故答案为:平行、相交或异面.

2.设为长方体,为直平行六面体,为正四棱柱,为正六面体,则集合A,B,C,D之间的包含关系为________.

【答案】

【解析】

【分析】先判断出四个集合中的元素关系,再根据集合包含关系定义判断即可.

【详解】在这4种图形中,包含元素最多的是直平行六面体,其次是长方体,再其次是正四棱柱(上下底面是正方形的长方体),最少元素的是正六面体.

故答案为:

3.用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图,其中,若原的面积为2,则____________.

【答案】1

【解析】

【分析】根据斜二测画法原则可还原,利用面积公式计算即可求解.

【详解】由直观图可还原,如图:

其中,又,

因此,

所以.

故答案为:

4.在图中,分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线是异面直线的图形有_________(填上所有正确答案的序号).

【答案】②④

【解析】

【分析】根据异面直线的定义分别判断即可.

【详解】对①,连接,为中点,,又,,故直线,共面,故①错误;

对②,、、三点共面,但面,因此直线与异面,故②正确;

对③,如图,连接,为中点,,又,,故直线,共面,故③错误;

对④,、、共面,但面,与异面.故④正确.

故答案为:②④.

5.若两异面直线a,b所成的角为70°,过空间内一点P作于直线a,b所成角均为70°的直线l,则所作直线l的条数为______.

【答案】4

【解析】

【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解.

【详解】在空间取一点,经过点分别作,设直线确定平面,如图,

当直线满足它的射影在所成角的平分线上时,与所成的角等于与所成的角,

因为直线,所成的角为,得所成锐角等于,

当射影在所成锐角的平分线上时,与所成角的范围是.

这种情况下,过点有两条直线与所成的角都是,

当的射影在所成钝角的平分线上时,与所成角的范围是.

这种情况下,过点有两条直线与所成的角都是,

综上所述,过空间任意一点可作与,所成的角都是的直线有4条.

故答案为:4

6.正四面体的棱长为1,则点A到平面的距离为_______

【答案】##

【解析】

【分析】作出辅助线,得到即为点A到平面的距离,为等边三角形的中心,结合勾股定理求出答案.

【详解】取的中点,连接,则⊥,

过点作⊥平面,垂足为,即为点A到平面的距离,

则点在上,且为等边三角形的中心,

因为正四面体的棱长为1,则,

由勾股定理得,则,

因为,由勾股定理得,

则点A到平面的距离为.

故答案为:

7.如图,长方体中,,点在线段上,且为线段的中点,若,则异面直线与所成角的余弦值为______.

【答案】##

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系,设出相关点及向量的坐标,求出必要参数,利用向量的夹角公式求解即可,或作合适辅助线,利用线线角定义求解也可.

【详解】.

解法一

以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,设,

则,

所以,则,解得,

所以,所以,设线线角为

则,

因此异面直线与所成角的余弦值为.

故答案为:

解法二

设,因为,所以,得.如图,取线段上靠近点的三等分点,靠近点的三等分点,连接,易知,又,

所以,故为异面直线与所成的角或其补角.

所以,因此异面直线与所成角的余弦值为.

故答案为:

8.如图,已知一个二面角的平面角为,它的棱上有两个点、,线段、分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱,,,,则线段的长为__________.

【答案】

【解析】

【分析】过点作,且,在利用余弦定理可得,再在中利用勾股定理求解.

【详解】

过点作,且,

则四边形为平行四边形,

又,

即为二面角的平面角,即,

在中,,

即,

又,,平面,

平面,

平面,

,,

在中,,

即,

故答案为:.

9.如图,在四棱锥中,平面平面,底面为矩形,,为等边三角形,则直线与平面所成角的正弦值为______________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据面面垂直可得线面垂直,即可根据线面角的定义找到

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