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专题15椭圆中的两大张角
一、中心直张角模型
【定理1】直线与椭圆交于两点,为椭圆中心,设到的距离为,则的充要条件是,即.
【定理1推广】、直线与椭圆交于两点,为椭圆中心,设到的距离为,若,则
(1);(2);(3).
【定理2】直线与双曲线交于两点,为双曲线中心,设到的距离为,则的充要条件是,.
【定理3】直线与抛物线交于两点,为抛物线的顶点,则的充要条件是,此时直线过定点.
对于双曲线、抛物线,仿椭圆情形证明有如下推广:
【定理2推广】直线与双曲线交于两点,为双曲线中心,设到的距离为,若,则
(1);(2);(3).
【定理3推广】直线与抛物线交于两点,为抛物线的顶点,若,则(1)直线过定点;(2).
二、非中心直张角模型
【定理4】直线与椭圆交于两点,为椭圆上不同于两点的一个定点,则的充要条件是直线恒过定点.
【定理5】直线与交于两点,为双曲线上不同于两点的一个定点,则的充要条件是直线过定点.
【定理6】直线与交于两点,为抛物线上不同于两点的一个定点,则的充要条件是直线过定点.
例1.(2021·重庆一中高三阶段练习)已知椭圆:.
(1)若直线与椭圆相交于,两点,且线段的中点为,求直线的斜率;
(2)如图,已知椭圆:与椭圆有相同的离心率,过椭圆上的任意一动点作椭圆的两条不与坐标轴垂直的切线,,且,的斜率,的积恒为定值,试求椭圆的方程及的的值.
例2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-2,0),F2(2,0),点M满足|MF1|+|MF2|=,记M的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)设l为圆x2+y2=4上动点T(横坐标不为0)处的切线,P是l与直线的交点,Q是l与轨迹C的一个交点,且点T在线段PQ上,求证:以PQ为直径的圆过定点.
例3.(2022·浙江绍兴·高二期末)已知椭圆的离心率,过椭圆C的焦点且垂直于x轴的直线截椭圆所得到的线段的长度为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线交椭圆C于A、B两点,若y轴上存在点P,使得是以AB为斜边的等腰直角三角形,求的面积的取值范围.
例4.(2022·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高二期末)设点是抛物线上异于原点O的一点,过点P作斜率为、的两条直线分别交于、两点(P、A、B三点互不相同).
(1)已知点,求的最小值;
(2)若,直线AB的斜率是,求的值;
(3)若,当时,B点的纵坐标的取值范围.
例5.已知椭圆,过点,且该椭圆的短轴端点与两焦点,的张角为直角.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点且斜率大于0的直线与椭圆E相交于点P,Q,直线AP,AQ与y轴相交于M,N两点,求的取值范围.
例6.(2022·四川达州·高二期末(文))如图,已知椭圆的焦点是圆与x轴的交点,椭圆C的长半轴长等于圆O的直径.
(1)求椭圆C的方程;
(2)F为椭圆C的右焦点,A为椭圆C的右顶点,点B在线段FA上,直线BD,BE与椭圆C的一个交点分别是D,E,直线BD与直线BE的倾斜角互补,直线BD与圆O相切,设直线BD的斜率为.当时,求k.
例7.在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率为,直线和椭圆交于,两点,当直线过椭圆的焦点,且与轴垂直时,.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在与轴不垂直的直线,使弦的垂直平分线过椭圆的右焦点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
例8.(2023·全国·统考高考真题)已知直线与抛物线交于两点,且.
(1)求;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,,求面积的最小值.
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