（沪教版2020必修三）2021学年高二数学讲义-第12讲 空间几何体的表面积与体积（提高）.pdfVIP

第12讲空间几何体的表面积与体积提（高）

一、填空题

I.在三棱锥P-ABC中，E4,面ABC,ABLAC,PA=\,AB=AC=2,求三棱锥P-ABC外接球的表

面积为.

答案】9万

分析】

将三棱锥P-ABC补成长方体PEFG-ABZ）C,计算出长方体的体对角线长，可得出三棱锥的外接球半径，

利用球体的表面积公式即可得解.

教师】

在三棱锥P—A8C中，％_1_面45。，AB1AC,PA=1,AB=AC=2,

将三棱锥P-ABC补成长方体在FG-ABDC,

_._____________3

则三棱锥2

P一ABC外接球的直径为2R=y/PA+AB?+AC?=3，则尺=彳，

因此，三棱锥P-ABC外接球的表面积为5=4%/?2=9万.

故答案为：9万.

2.已知某圆锥被一过该圆锥顶点的平面所截得到的几何体的正视图与侧视图如图所示，若该圆锥的顶点与

■z.也.64万

答案】—

分析】

首先根据三视图，还原被截圆锥的内接三棱锥，即可计算球的半径，即球的表面积.

教师】

3.已知空间四边形ABC。的各边长及对角线80的长度均为6,平面平面C8。,点M在AC上，且

AM=2MC,过点M作四边形A8CD外接球的截面，则截面面积最大值与最小值之比为

答呜

分析】

取8。中点为反连接AE,CE,球心。在平面88的投影△BCO为外心。1,

在4E上，作O”_LAE于E,依题意可证AEJ.8。,由面面垂直的性质得到AEJ_平面CB£,求出OH、AH,

从而求出外接球的半径，再连接。加，即可得到4,0,M三点共线，从而求出截面面积最大值与最小值，从

而得解;

教师】

解：由题知和△BCD为等边三角形，取80中点为E,连接AECE,

贝ljAE±BD,

由平面_L平面CBD,平面ABDc平面CBD=BD,

222

故AEJ_平面C8。，AE=yjAlf-DE=76-3=3^

易知球心。在平面5c。的投影为△88的外心。|,

在AE上，作OH_LAE于H,

易得OH//O、E,OOJ/HE,

则在中，OH=6,AH=2。

所以外接球半径/=JOH?+AH?=岳,连接OM,

因为A”=2HE,OHIICE,AM=2MC,

所以〃,0,M三点共线，所以OM=Ma-OH=6,

当截面过球心时截面面积最大为15%，

当M为截面圆圆心时截面面积最小，此时截面圆半径为，用（『-6（）2=2®,面积为127，所以截面面积

最大值与最小值之比为是之.

4

故答案为：7

4

4.如图1所示的几何模型是由一个半圆和矩形组成的平面图形，将半圆沿直径AB折成直二面角（如图2）

后发现，E在半圆弧（不含A、B点）上运动时，三棱锥E-ABD的外接球始终保持不变，若AB=3,4）=4,

则该三棱锥外接球的表面积为.

答案】