专题20 平面向量基本定理与坐标表示及运算（原卷版）_1.docx

专题20

专题20平面向量基本定理与坐标表示及运算

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备战2024高考数学一轮复习

专题20平面向量基本定理与坐标表示及运算

命题解读

命题预测

复习建议

平面向量基本定理与坐标表示及运算是高考的一个热门考点，对于平面向量的考察主要从这方面出题，尤其是数量积的运算是考察的重中之重，题目的难易度适中，以选择或者填空为主，出多项选择题的机率也是比较大的，总体来说还是学生比较好得分的。

预计2024年的高考平面向量基本定理与坐标表示及运算还是以选择题或者填空题为主，难易度以中等难度为主，数量积的运算考察机率大。

集合复习策略：

1.理解平面向量基本定理及其意义；

2.掌握平面向量的正交分解和坐标表示；

3.理解平面向量的数量积运算；

4.掌握运用坐标进行平面向量的加法、减法、数乘与数量积的运算。

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一、平面向量基本定理及坐标表示

1.平面向量的基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.?

2.平面向量的坐标运算

(1)平面向量的坐标运算

a=（x1，y1）b=（x2，y2）

a+b=(x1+x2，y1+y2)a-b=(x1-x2，y1-y2)λa=(λx1，λy1)

(2)向量的坐标求法

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=(x2-x1，y2-y1)，?

|AB|=(x

3.平面向量共线的坐标表示

设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b?a=λb(λ∈R)?x1y2-x2y1=0.?

二、平面向量的数量积及坐标运算

1.平面向量的数量积

(1)概念

已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,并规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.?

(2)几何意义

①向量的投影:a|cosθ(|b|cosθ)叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.?

②向量的数量积:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.?

(3)向量的夹角

已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.?

2.平面向量数量积的运算律

已知向量a,b,c和实数λ.

交换律:a·b=b·a;?

数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R);?

③分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.?

3.平面向量数量积的性质

设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,θ是a与e的夹角.

e·a=a·e=|a|cosθ.?

a⊥b?a·b=0.?

当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.?

特别地,a·a=|a|2或|a|=a·

cosθ=a·

⑤|a·b|≤|a||b|.?

4.平面向量数量积的有关结论

已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角.

|a|=x

a·b=x1x2+y1y2

a⊥b?x1x2+y1y2=0

cosθ=x

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1.（2023全国理科甲卷3）已知向量，则（）

A. B. C. D.

2.（2023北京卷3）已知向量满足，则（）

A. B. C.0 D.1

3.（2023全国Ⅰ卷3）已知向量，若，则（）

A. B.

C. D.

4.（2023天津卷14）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．

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1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知平面向量，满足，则的最小值为（????）

A．-1 B．0 C． D．

2．（2023·广东佛山·统考一模）已知单位向量，满足，若向量，则（????）

A． B． C． D．

3．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知平面向量满足，，且与的夹角为，则（????）

A． B． C． D．

4．（2023·山东日照·三模）已知向量，，，若，则（????）

A． B．3 C． D．5

5．（2023·江苏·统考二模）已知向量，的夹角为60°，且，则（????）

A． B．

C． D．

6．（2023·广东深圳·统考一模）已知，为