专题26 空间向量解决空间直线、平面位置关系（原卷版）_1.docx

专题26

专题26空间向量解决空间直线、平面位置关系

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备战2024高考数学一轮复习

专题26空间向量解决空间直线、平面位置关系

命题解读

命题预测

复习建议

空间中直线、平面的位置关系，可以借用空间向量这一工具来解决，空间向量的运用使得空间立体几何问题转化为了计算问题，把几何问题转化为了代数的计算，因此在复习过程中既要要求学生的空间思维能力又要要求学生学会数学转化思想。

预计2024年的高考对于空间直线、平面的位置关系的考察还是一个必考题，充分运用空间向量让立体几何问题转化为数学的代数计算问题。

集合复习策略：

1.掌握空间向量的有关知识点，及空间向量解决空间直线、平面位置关系的有关定理.

2.能运用结论解决空间直线、平面的位置关系问题。

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一、空间向量的有关概念

1.空间向量的概念：在空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量．空间向量的大小称为向量的长度或模.空间向量一般用字母a，b，c…表示。

2.共线向量(平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合.

3.共面向量：平行于同一平面的向量

4.共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b?存在λ∈R,使a=λb

5.共面向量定理：若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面?存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb

6.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc

二、空间向量的运算

1.空间向量的数量积

(1)a·b=|a||b|cosa,b?

(2)a⊥b?a·b=0(a,b为非零向量).?

(3)|a|2=a2;设a=(x,y,z),则|a|=x2

2.空间向量的坐标运算

a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)

（1）a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)

（2）a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)

（3）a·b=a1b1+a2b2+a3b3

（4）a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)?

（5）a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0

（6）cosa,b=a

三、空间共线、共面向量定理

1.共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b?存在λ∈R,使a=λb

2.共面向量定理：若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面?存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb

3.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc

四、利用空间向量证明平行与垂直

a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)

1.a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)?

2.a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0

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1.（2023北京卷16）如图，在三棱锥中，平面，．

（1）求证：平面PAB；

（2）求二面角的大小．

2.（2023全国Ⅰ卷18）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

（1）证明：；

（2）点在棱上，当二面角为时，求．

3.（2023全国Ⅱ卷20）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

（1）证明：；

（2）点F满足，求二面角的正弦值．

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1.（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知正方体的棱长均为为线段的中点,,其中,则下列选项正确的是（????）

A．当时,

B．当时,的最小值为

C．若直线与平面所成角为,则点的轨迹长度为

D．当时,正方体被平面截的图形最大面积为

2．（2023·江苏南京·统考二模）已知四棱柱的底面为正方形，，，则（????）

A．点在平面内的射影在上

B．平面

C．与平面的交点是的重心

D．二面角的大小为

3．（2023·江苏·统考二模）在正四棱柱中，已知，，则下列说法正确的有（????）

A．异面直线与的距离为

B．直线与平面所成的角的余弦值为

C．若该正四棱柱的各顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为

D．以A为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为

4．（2023·广东佛山·统考一模）如图，在正方体中，点M是棱上的动点（不含端点），则（????）

A．过点M有且仅有一条直线与AB，都垂直

B．有且仅有一个点M到AB，的距离相等

C．过点M有且仅有一条直线与，都相交

D．有且仅有一个点M满足平面平面

4．（2023·广东梅州·统考一模）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点；为棱上的动点（含端点）