湛江市第二十一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案).docxVIP

湛江市第二十一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．i是虚数单位，复数()

A. B.1 C.-i D.i

2．向量，，若，则()

A. B.， C.， D.，

3．空间向量在上的投影向量为()

A. B. C. D.

4．已知点，，，则点A到直线的距离是()

A.1 B. C. D.4

5．空间四边形中，，，，点M在上，，点N为的中点，则()

A. B. C. D.

6．如图所示,在棱长为2的正方体中,E为的中点,,则异面直线与所成角的余弦值为()

A. B. C. D.

7．下列命题中正确的是()

A.点关于平面对称的点的坐标是

B.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则

C.若和都为基底，则可以为

D.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为120°，则直线l与平面所成的角为30°

8．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面，，，若球O的表面积为，则三棱锥（以A为顶点）的侧面积的最大值为()

A.6 B. C. D.

二、多项选择题

9．下列命题正确的是()

A.若，则与，共面

B.若，则M,P,A,B共面

C.若，则A,B,C,D共面

D.若，则P,A,B,C共面

10．不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球,现从盒子里随机取出2个小球,记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”,事件“两个球中至多一个黑球”,事件“两个球均为白球”,则()

A. B. C. D.

11．在中,下列结论正确的是()

A.若,则为等腰三角形

B.若,则是直角三角形

C.若,则是钝角三角形

D.若,则是等边三角形

三、填空题

12．在空间直角坐标系中，若点，，则________.

13．已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为_______.

14．在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点F满足，则_______.

四、解答题

15．在中，,,.

(1)求的长；

(2)求的长；

(3)记中点为D，求中线的长.

16．如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,E为的中点.求证:

(1)平面;

(2)平面平面.

17．某中学高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照,,…,进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中.

(1)求出a，b，估计测试成绩的分位数和平均分；

(2)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率.

18．如图所示，已知正方体的棱长为3，E，F分别是，的中点，M是上一点，且平面.

(1)求；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

19．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.

(1)求证：；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)棱上是否存在点E，它与点B到平面的距离相等，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.

参考答案

1．答案：C

解析：.

故选：C.

2．答案：C

解析：因为向量，，且，

则设，即，

则有，则，，解得，，

故选：C.

3．答案：C

解析：，，

由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为，

故选：C.

4．答案：B

解析：由题意，,

则与同方向的单位向量为，又,

于是，点A到直线的距离是：

.

故选：B.

5．答案：B

解析：

如图，连结，因，点N为的中点，则，

于是，.

故选：B.

6．答案：C

解析：如图,以D为原点,分别以,,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,

因为正方体的棱长为2,则,,,.

所以,又

所以.

故选：C.

7．答案：D

解析：对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A错误；

对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，

，有，则或，B错误；

对于C，由是空间向量的一个基底，得，，不共面，则，不共线，假设，则，即，，共面，

与是空间的一个基底矛盾，因此不可以为，C错误；

对于D，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为120°，

则直线l与平面所成的角为，D正确.

故选：D

8．答案：B

解析：设球O的半径为r，则，解得，

因为平面，，

所以三棱锥的外接球，即为以,,为棱的长方体的外接球，

故，其中，故，

三棱锥（以A为顶点）的侧面积为

，

由基本不等式得，故，

当且仅当时，等号成立，

，

故，当且仅当时，等号成立，

所以.

故选：B

9．答案：ABD

解析：选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的；

选项B，根据共面向量基本定理可知，,,共面，由于它们有公共点M，