矩阵等价相似合同的关系 .pdfVIP

矩阵等价相似合同的关系

等价指的是两个矩阵的秩一样。

合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的

特征值符号一样。

相似是指两个矩阵特征值一样。

相似必等价，合同必等价。

1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随

意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一

个。

--1

2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得PAP=B，则称B是

A的相似矩阵。

原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即

|B-aE|=|A-aE|

--1--1--1

所以|B-aE|=|P||A-aE||P|，所以|B-aE|=|PAP-aPEP|，即

--1--1

|B-aE|=|PAP-aE|所以B=PAP

T

3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得CAC=B，即A与B合同。

T

对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=XAX。可通过X=CY变

换，即把X=CY带入，

TTTT

于是f=（CY)A(CY)=Y[CAC]Y，其中令CAC=B，即A与B合同。

首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合

同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能

是对方阵，而后者则只需要同型。相似合同和等价都具有反身性。对

称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。

T--1

而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在CAC=CAC，即这

个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C

--1

不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果PAP=B,

即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如

TT

果PAP=B，即A与B合同，但是PP≠I,则一样不能推出相似。

相似必合同，合同必等价。

等价就是矩阵拥有相同的r。

T

矩阵合同，CAC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，

T

r(B)=r(CAC)=r(AC)=r（A），等价。同理两矩阵相似一定等价。矩阵相

似一定合同，因为两矩阵相似，有相同的特征多项式和特征根，就一

定有相同的r，惯性系数一定相同，可以化成相同的标准形，矩阵合

同的充要条件是有相同的r和规范形（A、B都有其对应的对角形矩

阵，结合定义即可推出），标准形相等规范形一定相等，所以相似一

定合同。

--1T

三种矩阵的比较：等价,A=PBQ;相似，A=PBP;合同，A=PBP。