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矩阵的合同，等价与相似

一、矩阵的合同，等价与相似的定义、性质及判定条件

（一）矩阵的等价：

1、定义：若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与

B等价，记为AB。

2、性质：

（1）反身性：即AA.

（2）对称性：若AB，则BA

（3）传递性：即若AB，BC，则AC

Amnr(A)rPm

（4）若为矩阵，且，则一定存在可逆矩阵（阶）

I0



QnPAQrBIr

和（阶），使得.其中为阶单位矩阵.



00r



mn

（5）设A、B是两mn矩阵，则AB当且仅当r(A)r(B)

3、判定：

矩阵等价的充要条件：

两个矩阵等价的充要条件为：存在可逆的阶矩阵与可逆的

snA,Bsp

n阶矩阵Q，使BPAQ

由矩阵的等价关系，可以得到矩阵与等价必须具备的两个条件：

AB

（1）矩阵与必为同型矩阵（不要求是方阵）.

AB

spn

（2）存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵Q,使得BPAQ.

（二）矩阵的合同：

1、定义：

两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得T成立，则

ABPAPB

称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。

2、性质：

（1）反身性：任意矩阵都与自身合同.

A

（2）对称性：如果与合同，那么也与合同.

BAAB

（3）传递性：如果与合同，C又与合同，那么C与合同.

BABA

因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩

阵的秩等.

（4）数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.

r

（5）复数域上秩为的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：

222

fyyy

12r

3、判定

定义2设均为数域p上的阶方阵，若存在数域p上的阶可