2024—2025学年吉林省长春市实验中学高二上学期第一学程考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年吉林省长春市实验中学高二上学期第一学程考试数学试卷

一、单选题

(★)1.已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（）

A．

B．0

C．1

D．2

(★★)3.若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则（）

A．0

B．2

C．0或2

D．1或2

(★★★)5.“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，面；，底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，，则异面直线，与所成角的余弦值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)6.已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的面积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)8.正三棱柱中，，，O为BC的中点，M是棱上一动点，过O作于点N，则线段MN长度的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★★)9.对于直线，则（）

A．的充要条件是或

B．当时，

C．直线经过第二象限内的某定点

D．点到直线的距离的最大值为

(★★)10.关于空间向量，以下说法正确的是（）

A．若，则向量的夹角是锐角

B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

C．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面

D．若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面

(★★★)11.如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（）

A．不存在点，使得

B．不存在点，使得

C．点在棱上，且，若，则点的轨迹是圆

D．当是正方形ABCD的中心时，为线段AB上的动点，则的最小值为

三、填空题

(★★)12.直线与平行，则它们的距离是_____

(★★)13.设，向量且，则______．

(★★★)14.设点，，直线，于点，则的最大值为___________.

四、解答题

(★★★)15.如图，正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设．

(1)表示，并求EF的长；

(2)求．

(★★★)16.如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成的角的正弦值.

(★★★)17.设直线l的方程为

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.

(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.

(★★★)18.如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，平面．

(1)证明：平面ADE；

(2)在棱EC（不包括端点）上是否存在点，使得平面MBD与平面BCF的夹角余弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由．

(★★★★)19.已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.

(1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值；

(2)已知点?点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标；

(3)已知点，直线，是“