第七章 平行线的证明 知识归纳与题型突破（九类题型清单） （解析版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记 巧练（北师大版）.docx

第七章平行线的证明知识归纳与题型突破（九类题型清单）

01

01思维导图

02

02知识速记

一、定义、命题及证明

1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.

2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题.

要点：

（1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.

（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.

（3）公认的真命题叫做公理.

(4)经过证明的真命题称为定理.

3.证明:在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明.

要点：

（1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．

（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.

（3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．

二、平行线的判定与性质

1．平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行．

判定方法2：内错角相等，两直线平行．

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．

要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：

（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.

（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.

（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.

（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2．平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：

（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．

（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．

三、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．

推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

要点：

（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.

（2）推论可以当做定理使用.

四、三角形外角的性质

三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和。

03

03题型归纳

题型一命题与证明

例题

1．下列语句是命题的是（??）

A．在线段上取点C B．作直线的垂线

C．垂线段最短吗？ D．相等的角是对顶角

【答案】D

【分析】判断一件事情的句子叫做命题，逐项判断即可得到答案．

【解析】解：A、在线段上取点C不是命题，故A选项错误；

B、作直线的垂线不是命题，故B选项错误；

C、垂线段最短吗？是疑问句，不是命题,故C选项错误；

D、相等的角是对顶角，是命题，故D选项正确；

故选：D

【点睛】本题考查了命题的定义，熟练掌握命题的定义是解决本题的关键．

巩固训练

2．下列命题中，是真命题的是（????）

A．互补的两个角是邻补角 B．邻补角一定互为补角

C．两角相等，一定是对顶角 D．无理数都是开方不尽的数

【答案】B

【分析】根据补角，邻补角，对顶角，无理数等概念逐项判断．

【解析】解：A.互补的两个角不一定是邻补角，故A是假命题，不符合题意；

B.邻补角一定互为补角，故B是真命题，符合题意；

C.两角相等，不一定是对顶角，故C是假命题，不符合题意；

D.无理数是无限不循环的小数，故D是假命题，不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题主要考查命题与定理，解题的关键是掌握补角，邻补角，对顶角，无理数等概念．

3．下列命题是假命题的是（????）

A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余

C．全等三角形的周长相等 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

【答案】D

【分析】利用对顶角的性质、直角三角形的性质、平行线的性质及全等三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【解析】解：A、对顶角相等，正确，为真命题；

B、直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题；

C、全等三角形对应边相等，所以周长也相等正确，为真命题；

D、两平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题错误，为假命题；

故选：D．

【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、全等三角形的性质、平行线的性质及直角三角形的性质，难度不大．

4．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：

??

证明：如图，，

．

，

，

，

已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（????）

A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内