工程数学-积分变换-第四版-课后习题答案.doc

工程数学积分变换（第四版张元林编）课后习题答案编辑者：余小龙

第一章：Fourier变换

习题一解答

1、证：利用Fourier积分变换的复数形式，有

由于

，，

所以

。

注：本题也可以由Fourier积分公式的三角形式得到证明。

2、解：（1）此题亦可写成它是一个连续的偶函数，利用Euler公式和分部积分法，由Fourier积分公式的复数形式，有

=

=

（2）函数为一连续函数，用类似于（1）的方法，有

(3)可以看出为奇函数，且-1,0,1为其间断点。因此，在的连续点处，有

而在的间断点处，左边的应以代替。

注：以上三小题，都可利用Fourier积分公式的三角形式而求得结果。

3、解：（1）为一连续偶函数，由Fourier积分公式的三角形式，有

=

由此可得

（2）为连续偶函数，有Fourier积分公式的三角形式，有

=

由此可得

（3）为一连续的奇函数，由Fourier积分公式的三角形式，有

由此可得

注：以上三小题都可以由Fourier积分公式的复数形式获得结果。

4、解：根据Fourier正弦积分公式，并利用分部积分法，有

根据Fourier余弦积分公式，同理可得

习题二解答

解：根据Fourier变换的定义，有

F[]

证：因为与是一个Fourier变换对，即

=

。

如果为奇函数，即，则

（令）

（换积分变量为）

=。

所以亦为奇函数。

如果为奇函数，即=，则

=

（令）=

（换积分变量为）

所以亦为奇函数。

同理可证与同为偶函数。

解：（1）由Fourier变换的定义，有

由Fourier积分公式，并利用奇偶函数的积分性质，在的连续点处，有

在间断点t=0处，左端应以代替，由此可得