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应用二元一次方程组（基础）知识讲解

【学习目标】

1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解

方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；

2．熟练掌握用方程组解决鸡兔同笼，增收节支，里程碑上的数等实际问题.

【要点梳理】

要点一、常见的一些等量关系

1.和差倍分问题：

增长量＝原有量×增长率较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.

2.增收节支问题：

（1）增长（递减）率公式：

原来的量×（1+增长率）后来的量；原来的量×（1-递减率）后来的量；

（2）利润公式：

利润总收入-总支出；利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率

；标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)

（3）银行利率公式：

利息本金×利率×期数.

本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数).

年利率＝月利率×12.

月利率＝年利率×.

要点诠释：

增收节支问题常常借助列表分析问题中所蕴涵的数量关系，这种方法清晰明了，能够充

分突出解题过程．

3.行程问题：

速度×时间路程.

顺水速度静水速度+水流速度.

逆水速度静水速度-水流速度.

4.数字问题：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例

如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．

要点二、实际问题与二元一次方程组

1.列方程组解应用题的基本思想

列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和

未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，

所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数

要相等.

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

设：用两个字母表示问题中的两个未知数；

列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；

解：解方程组，求出未知数的值；

验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；

答：写出答案．

要点诠释：

（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的

结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

【典型例题】

类型一、鸡兔同笼问题

1.（2020茂名）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹

•

马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、

多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）

A．B．

C．D．

【思路点拨】设有x匹大马，y匹小马，根据100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能

拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，列方程组即可．

【答案与解析】

解：设有x匹大马，y匹小马，根据题意得

，

故选C

【总结升华】本题考查了二元一次方程的应用，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况

下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．

举一反三：

【变式】根据图中所给出的信息，求出每个篮球和每个羽毛球的价格.

【答案】

解：设每个篮球元，每个羽毛球元.根据题意列方程组：

xy

2x2y44





x3y26



x20



解得

y2



答：每个篮球20元，每个羽毛球2元.

类型二、增收节支问题

2.（2020北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的

•

基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》

最高的数学成就．

《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊

各直金几何？”

译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头