- 1、本文档共6页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
第七章微分方程
非线性方程
1.可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程能写成的形式,就是说,能把微分方程写成一端只含的函数和,另一端只含的函数和,那么原方程就称为可分离变量的微分方程。
将上式两端积分,得,即可求出该方程的通解(隐式通解)。
2.齐次微分方程
如果微分方程中的函数可写成的函数,即,则称这方程为齐次方程。
在齐次方程中,引进新的未知函数,则
就可化为可分离变量的方程。齐次方程(课后及课件)
复习题参考课后习题及课件
例求微分方程通解。
解:令,则,原方程化为
,
。(注:)
线性方程
3.一阶线性微分方程
方程叫做一阶线性微分方程,通解为:其中积分号中不含常数C,当时,方程称为一阶线性齐次的,通解为:。
例求微分方程的通解。
解:此题把看作未知函数,看作自变量,再按照一阶线性非齐次方程求解。
此题微分方程为
,,
说明
注意一阶微分方程求解中的可同等看待,即对同一一阶微分方程,可以把看作自变量,也可以把看作因变量,求解方法一样。
复习题参考课后习题及课件
4.伯努利(Bernoulli)方程
方程叫做伯努利(Bernoulli)方程。
引入新的未知函数,那么通过上述代换便得一阶线性非齐次方程,求出这方程的通解后,以代便得到伯努利方程的通解。
复习题参考课后习题及课件
练习:求方程的通解
5.一阶二阶线性方程齐次与非齐次方程解的性质及解的结构及其求解(包括特解与通解)
复习资料教材及课件
二阶线性微分方程
二阶线性微分方程的一般形式为:
当方程右端时,方程叫做齐次的;当时,方程叫做非齐次的。
1.二阶线性微分方程解的结构
定理1如果函数与是方程的两个解,那么
也是该方程的解,其中、是任意常数。
定理2如果与是方程的两个线性无关的特解,那么(、是任意常数)就是该方程的通解。
定理3设是二阶非齐次线性方程的一个特解。是对应的齐次方程的通解,那么是二阶非齐次线性微分方程的通解。
定理4若与分别是方程与的特解,那么就是方程的特解。
注意两种特殊情况:
2.二阶常系数齐次线性微分方程的解
,其中、是常数,则称其为二阶常系数齐次线性微分方程。
叫做微分方程的特征方程。特征方程的两个根设为、,
则微分方程的通解情况如下表:
特征方程的根
微分方程的通解
实根
3.二阶常系数非齐次线性微分方程的解
,其中、是常数,称其为二阶常系数非齐次线性微分方程。
若微分方程右端函数,其中是的一个次多项式,,则该微分方程具有特解:
,
其中是与同次(次)的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2。
例1设线性无关的函数都是的解,是任意常数,则该方程的通解是。
答:
例2写出微分方程的待定特解的形式
解:设的特解为
设的特解为
则所求特解为
,特征根
,(重根)
练习求微分方程的通解
例3若满足,则可微函数=
解:等式求导,得,是一元线性非齐次微分方程
,
即,又因为,所以
所以
例4.求满足方程。
解:,得到,代入一阶线性非齐次方程通解公式,
又,
因此
例5.能够通过方程的解求方程
解:(1)由题设可得:
解此方程组,得
(2)原方程为
所以
补充:高阶微分方程求解
例1求方程的通解.
解:特征方程即
特征根二重根,
微分方程通解
例2写出微分方程的待定特解的形式
解:设的特解为
设的特解为
则所求特解为
对应齐次方程为
特征方程为,特征根
是二重根,所以设,
于是待定特解的形式为
例3求下列高阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题:
(1),;
(2),.
分析:求高阶常系数非齐次线性微分方程的方法同二阶常系数非齐次线性微分方程的方法一样.
解:(1)方程对应的齐次方程为,它的特征方程为,特征根为,,,。因此齐次方程的通解为
.
在中,由于是相应齐次方程的特征根,因此它有形如的特解,将它代入中,注意到
,,
因此,有特解,其通解为
将初值条件代入通解中可得
由此可求得,,所求初值问题的解为
.
(2)方程对应的齐次方程为,它的特征方程为,特征根为,,因此齐次方程的通解为
.
在中,由于是相应齐次方程的特征根,且是二重根,因此它有形如的特解,将代入中可得,因此的通解为
将初值条件代入通解中可得
由此可得,,。所求初值问题的解为
您可能关注的文档
- XX园林绿化工程有限公司工程档案管理制度.doc
- 深圳龙兴大道-隧道、人行地下通道计算书.docx
- 社会心理学-侵犯与利他行为.ppt
- 2.1.2安全工作领导小组成立文件及职责(学校公章盖章).docx
- 工程资料管理制度 (2).doc
- 足球校本课程实施方案(14篇).docx
- ECMO基础护理(精品课件).pptx
- 基于国外经验的江门市滨海旅游发展对策研究.pdf
- 五年级语文实践作业方案.docx
- 《通用汽油机用炭罐》-发布稿.pdf
- 第20课+社会主义国家的发展与变化+导学案 高一下学期统编版(2019)必修中外历史纲要下.docx
- 交变电流的描述 高二下学期物理人教版(2019)选择性必修第二册.pptx
- 磁场对通电导线的作用力 高二下学期物理人教版(2019)选择性必修第二册.pptx
- 5.3+诱导公式课件(第二课时) 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册.pptx
- 4.1.1+n次方根与分数指数幂 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册.pptx
- 第10课+辽夏金元的统治+教案 高一历史统编版(2019)必修中外历史纲要上册.docx
- 第九课+理解质量互变+同步练习 高中政治统编版选择性必修三逻辑与思维.docx
- 化工原理课件上册第7章塔设备.ppt
- 化工原理课件上册第3章机械分离.ppt
- 化工原理课件上册第8章液体蒸馏.ppt
文档评论(0)