微积分期末复习-微分方程.doc

第七章微分方程

非线性方程

1.可分离变量的微分方程

如果一个一阶微分方程能写成的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和，另一端只含的函数和，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。

将上式两端积分，得，即可求出该方程的通解（隐式通解）。

2.齐次微分方程

如果微分方程中的函数可写成的函数，即，则称这方程为齐次方程。

在齐次方程中，引进新的未知函数，则

就可化为可分离变量的方程。齐次方程（课后及课件）

复习题参考课后习题及课件

例求微分方程通解。

解:令，则，原方程化为

，

。（注：）

线性方程

3．一阶线性微分方程

方程叫做一阶线性微分方程，通解为：其中积分号中不含常数C，当时，方程称为一阶线性齐次的，通解为：。

例求微分方程的通解。

解:此题把看作未知函数，看作自变量，再按照一阶线性非齐次方程求解。

此题微分方程为

，，

说明

注意一阶微分方程求解中的可同等看待，即对同一一阶微分方程，可以把看作自变量，也可以把看作因变量，求解方法一样。

复习题参考课后习题及课件

4．伯努利（Bernoulli）方程

方程叫做伯努利（Bernoulli）方程。

引入新的未知函数，那么通过上述代换便得一阶线性非齐次方程，求出这方程的通解后，以代便得到伯努利方程的通解。

复习题参考课后习题及课件

练习：求方程的通解

5.一阶二阶线性方程齐次与非齐次方程解的性质及解的结构及其求解（包括特解与通解）

复习资料教材及课件

二阶线性微分方程

二阶线性微分方程的一般形式为：

当方程右端时，方程叫做齐次的；当时，方程叫做非齐次的。

1.二阶线性微分方程解的结构

定理1如果函数与是方程的两个解，那么

也是该方程的解，其中、是任意常数。

定理2如果与是方程的两个线性无关的特解，那么（、是任意常数）就是该方程的通解。

定理3设是二阶非齐次线性方程的一个特解。是对应的齐次方程的通解，那么是二阶非齐次线性微分方程的通解。

定理4若与分别是方程与的特解，那么就是方程的特解。

注意两种特殊情况：

2.二阶常系数齐次线性微分方程的解

，其中、是常数，则称其为二阶常系数齐次线性微分方程。

叫做微分方程的特征方程。特征方程的两个根设为、，

则微分方程的通解情况如下表：

特征方程的根

微分方程的通解

实根

3.二阶常系数非齐次线性微分方程的解

，其中、是常数，称其为二阶常系数非齐次线性微分方程。

若微分方程右端函数，其中是的一个次多项式，,则该微分方程具有特解：

，

其中是与同次（次）的多项式，而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2。

例1设线性无关的函数都是的解，是任意常数，则该方程的通解是。

答：

例2写出微分方程的待定特解的形式

解：设的特解为

设的特解为

则所求特解为

，特征根

，（重根）

练习求微分方程的通解

例3若满足，则可微函数=

解：等式求导，得，是一元线性非齐次微分方程

，

即，又因为，所以

所以

例4．求满足方程。

解：，得到，代入一阶线性非齐次方程通解公式，

又，

因此

例5．能够通过方程的解求方程

解：（１）由题设可得：

解此方程组，得

（２）原方程为

所以

补充：高阶微分方程求解

例1求方程的通解.

解：特征方程即

特征根二重根，

微分方程通解

例2写出微分方程的待定特解的形式

解：设的特解为

设的特解为

则所求特解为

对应齐次方程为

特征方程为，特征根

是二重根，所以设，

于是待定特解的形式为

例3求下列高阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题：

（1），；

（2），.

分析：求高阶常系数非齐次线性微分方程的方法同二阶常系数非齐次线性微分方程的方法一样.

解：（1）方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，，，。因此齐次方程的通解为

.

在中，由于是相应齐次方程的特征根，因此它有形如的特解，将它代入中，注意到

，，

因此，有特解，其通解为

将初值条件代入通解中可得

由此可求得，，所求初值问题的解为

.

（2）方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，，因此齐次方程的通解为

.

在中，由于是相应齐次方程的特征根，且是二重根，因此它有形如的特解，将代入中可得，因此的通解为

将初值条件代入通解中可得

由此可得，，。所求初值问题的解为