数学课后导练双曲线的几何性质.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课后导练

基础达标

1。双曲线与椭圆=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=-x,则双曲线方程为（）

A。x2—y2=96 B.y2—x2=160

C.x2—y2=80 D。y2-x2=24

解析：由椭圆=1得其焦点坐标为（0,—4）、（0，4）。

∴双曲线的焦点在y轴上。

∵双曲线的一条渐近线为y=-x,

∴a=b,而c=4。

∴a2+b2=(4）2,2a2=48.

∴a2=24，b2=24.

∴双曲线的方程为y2—x2=24。

答案：D

2。实轴长为45且过点A(2,-5）的双曲线的标准方程是（）

A.=1 B。=1

C。=1 D.=1

解析：∵2a=4，∴a=2。

∵双曲线的焦点在x轴上时,双曲线上的点的横坐标x应满足｜x｜≥2，而A点的横坐标为2，不满足|x｜≥2.

∴双曲线的焦点应在y轴上.

设双曲线的方程为

∵点A（2，-5）在双曲线上，

∴.

∴b2=16。

∴双曲线的方程为

答案：B

3.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（)

A.y=±x B.y=±x

C.y=±x D。y=±x

解析：∵

∵双曲线的焦点在y轴上，

∴双曲线的渐近线方程为y=±x.

∴所求双曲线的渐近线方程为y=±x.

答案：D

4.焦点为(0，6)且与双曲线—y2=1有相同渐近线的双曲线方程是（）

A.=1 B。=1

C。=1 D。=1

解析：设所求双曲线的方程为

∵双曲线的一个焦点为(0，6)在y轴上，

∴λ0。∴-λ-2λ=36,λ=-12.

∴所求双曲线方程是

答案:B

5。若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于()

A. B。

C。 D。

解析：焦点F(c，0）到渐近线bx-ay=0的距离d=，则b=2ac2-a2=4a2e=

答案:C

6.双曲线5y2—4x2=-20的实轴长为_________，虚轴长为_________，渐近线方程为_________，离心率为_________.

解析:∵a2=5,b2=4,

∴2a=2，2b=4,c=a2+b2=3.

∴e=

又双曲线的焦点在x轴上,

∴双曲线的渐近线方程为y=±

答案：254y=±

7.准线方程为x+y=1,相应的焦点为（1,1)的等轴双曲线方程是_________。

解析：等轴双曲线的离心率e=2，由双曲线的第二定义，得方程为，化简得xy=.

答案:xy=

8。已知双曲线x2—3y2=3上一点P到左、右焦点的距离之比为1∶2,则P点到右准线的距离为_________。

解析：设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点。

则有

解得

又设点P到右准线的距离为d，则

∴d=6,即点P到右准线的距离为6.

答案:6

9.双曲线=1与直线y=kx-1只有一个公共点，求k的值.

解：直线y=kx—1过（0,—1)点,若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切。

当直线与渐近线平行时,双曲线的渐近线方程是y=±x.∴k=±。

10.双曲线与圆x2+y2=17有公共点A(4，—1）,圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.

解：∵点A与圆心O的连线的斜率为—，

∴过A的切线的斜率为4。

∴双曲线的渐近线方程为y=±4x。

设双曲线方程为x2-=λ.

∵点A（4，—1）在双曲线上,

∴16—=λ，λ=。

∴双曲线的标准方程为

综合运用

11。已知双曲线=1（a＞0,b＞0),F1、F2为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上，求｜PF1｜·｜PF2｜的最小值。

解析：设P点的横坐标为x0，则x0≥a或x0≤—a。由焦半径公式得|PF1|·|PF2｜=｜a-ex0｜|a+ex0|=｜a2-

∵|x0｜≥a,∴x≥a2.

∴|PF1｜·｜PF2｜≥·a2-a2=b2。

当｜x0｜=a时，上式“=成立。

∴｜PF1｜·｜PF2｜的最小值为b2.

12。在双曲线=-1的上支上有不同的三点A（x1,y1）、B（x2，6）、C(x3，y3），与焦点F（0，5)的距离成等差数列.

(1）求y1+y3的值；

(2）求证：线段AC的垂直平分线经过某一定点,并求出定点坐标。

(1)解：∵=e,

∴|PF｜=ey—a。又A、B、C到F的距离成等差数列，

∴2（ey2-a)=(ey1-a)+(ey3-a）。

∴y1+y3=2y2=12。

（2）证明:由题意，得

①—②,得(y1—y3)(y1+y3)—（x1—x3）·(x1+x3)=0。

∴

若x1+x3=0.

则kAC=0，y1=y3=y2=6，A、B、C三点共线