人教B版高中数学必修第四册课后习题 复习课 第3课时 立体几何初步.docVIP

第PAGE6页共NUMPAGES8页

第3课时立体几何初步

课后训练巩固提升

A组

1.若直线a与平面α不垂直,则平面α内与直线a垂直的直线有()

A.0条 B.1条 C.无数条 D.不确定

答案:C

解析:无论a∥α,a?α还是a与α斜交,α内都有无数条直线与a垂直.

2.已知△ABC的直观图是边长为2的等边三角形A1B1C1,那么原三角形ABC的面积为()

A.23 B.3 C.26 D

答案:C

解析:如图,在直观图中,过点C1作C1D1∥y轴,交x轴于点D1,设C1D1=a,在原图中,过点C作CD∥y轴,交x轴于点D,则CD为△ABC的高,且CD=2a.

在△A1D1C1中,由正弦定理得asin

解得a=6,故S△ABC=12×2×26

3.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是()

A.α内有无数条直线与β平行

B.α内有两条相交直线与β平行

C.α,β平行于同一条直线

D.α,β垂直于同一平面

答案:B

解析:由面面平行的判定定理知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的充分条件.由面面平行的性质知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的必要条件,故选B.

4.如果两个球的体积之和为12π,且这两个球的大圆周长之和为6π,那么这两个球的半径之差为()

A.12 B.1

答案:B

解析:设两个球的半径分别为R与r(Rr),

则43π

因为R3+r3=(R+r)(R2-Rr+r2),所以R2-Rr+r2=3,即(R+r)2-3Rr=3,则Rr=2,

而(R-r)2=(R+r)2-4Rr,故R-r=1.

5.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,则下面说法正确的是 ()

A.BD∥平面CB1D1

B.AC1⊥BD

C.AC1⊥平面CB1D1

D.异面直线AD与CB1所成的角为60°

答案:ABC

解析:因为BD∥B1D1,所以BD∥平面CB1D1,故A正确;连接AC,易证BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD,故B正确;同理可证AC1⊥B1C,因为BD∥B1D1,所以AC1⊥B1D1,所以AC1⊥平面CB1D1,故C正确;对于选项D,因为BC∥AD,所以∠B1CB即为AD与CB1所成的角,此角为45°,故D错误.

①α∥β,α∥γ?β∥γ;

③m⊥α,m∥β?α⊥β;

答案:①③

7.若在一个半径为13cm的球内有一个截面,此截面面积是25πcm2,则球心到这个截面的距离为.?

答案:12cm

8.已知在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则V1V2

答案:1

解析:如图,设点C到平面PAB的距离为h,△PAB的面积为S,则V2=13Sh,V1=VE-ADB=13×12S

9.一个半径为21的球形冰块融化在一个底面半径为14的圆柱形的水桶内,求水面的高度.

解:设水面的高度为h,则4π×2133

解得h=63.即水面的高度为63.

10.如图,四边形BCC1B1是圆柱的轴截面.AA1是圆柱的一条母线,已知AB=2,AC=22,AA1=3.

(1)求证:AC⊥BA1;

(2)求圆柱的侧面积.

(1)证明:依题意AB⊥AC.因为AA1⊥平面ABC,且AC?平面ABC,所以AA1⊥AC.

又因为AB∩AA1=A,所以AC⊥平面AA1B1B.

因为BA1?平面AA1B1B,所以AC⊥BA1.

(2)解:在Rt△ABC中,已知AB=2,AC=22,∠BAC=90°,所以BC=23,S侧=23π×3=6

B组

1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点E为A1C1上的一点,则直线CE一定垂直于()

A.AC

B.BD

C.A1D

D.A1D1

答案:B

解析:连接AC,BD(图略),由BD⊥AC,BD⊥AA1,易得BD⊥平面A1ACC1,而CE?平面A1ACC1,故BD⊥CE.

2.若用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为π,则球的体积为()

A.32π3 B.8π3

答案:D

解析:所得截面圆的半径r=1,因此球的半径R=12+12=2

3.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和平面β内,且AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,则CD的长度为()

A.13 B.151 C.123

答案:A

解析:如图,连接AD.

∵α⊥β,α∩β=l,AC⊥l,AC?α,∴AC⊥β.

又AD?β,∴AC⊥AD.

已知DB⊥AB,在Rt△ABD中,AD=A

在Rt△CAD中,CD=AC

4.已知一个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的两段,则圆锥被分成的两部分的侧面积的比为()

A.1∶1 B.1∶2 C.1