《三角函数的图象与性质(1)》教学设计一 (2).docVIP

《三角函数的图象与性质(1)》教学设计一 (2).doc

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《三角函数的图象与性质(1)》教学设计一

教学设计

一、问题引入

问题1:这节课我们来研究函数的图象,从画函数的图象开始在上任取一个值,如何利用正弦函数的定义,确定正弦函数值并画出点?

教师给出单位圆与平面直角坐标系(如图),先引导学生分析平面直角坐标系中横、纵坐标与单位圆中的量的对应关系,分析0°,30°,45°的正弦线在直角坐标系中对应的点,然后交给学生将其余角对应的点作出来.

这样得到由正弦线作出的正弦函数的图象:

事实上,我们利用信息技术,可使在区间上取到足够多的值进而画出足够多的点,将这些点用光滑的曲线连接起来,可以得到比较精确的函数的图象(如图).

紧接着提出思考:根据函数的图象,你能想象出函数的图象吗?

学生根据上节课学习的三角函数的周期性,很容易想到的图象(如图):

设计意图:初中学生学习过代数描点作图,教材里设计的正弦线的作图属于几何描点作图,一方面培养学生数形结合的能力,另一方面教给学生描点作图的两种基本方法:代数描点和几何描点.几何描点作图相对代数描点作图较为抽象,一定要引导学生先理解横、纵坐标与单位圆上的角、线的对应关系,借助于三个特殊角的描点方式,让学生理解几何描点的原理,通过剩余点的学生独立处理,反馈学生对几何描点的理解.利用现代科技手段,让学生感受特殊与一般的关系,形成一种辩证统一的思想,培养学生分析问题、解决问题的能力.

问题2:余弦函数的图象怎么作?

引导学生从正弦函数的图象作法和正、余弦函数的关系两个角度分析.给学生讨论合作的时间,让学生自己摸索出作余弦函数图象的方法.有两种:

=1\*GB3①借助于余弦线,如图:

这种方式要借助直线,将横坐标的量与纵坐标的量对等,平移到坐标轴上,较为抽象,注意学生的理解.

②借助诱导公式:.

将正弦函数的图象向左平移个单位长度,如图所示.

设计意图:考查学生的发散思维和创新精神.正弦函数的作图,已经给学生传递了一种作图的方法,学生下意识会想到利用余弦线作图,但是在操作中会遇到困难—如何将横坐标的有向线段等价平移到坐标系上的对应纵坐标处?这需要学生创造,引入直线.第二种作法需要学生的发散思维,利用余弦线作图遇到瓶颈,如何解决?另辟蹊径,诱导公式中有正弦值与余弦值的关系,可以借助作图此法考查了学生的发散思维,将学习过的知识与本节课的知识建立联系.

二、新知建构

从前面的问题的提出与解决,我们得到:

函数的图象(如图(1))和的图象(如图(2)),分别叫作正弦曲线和余弦曲线.

思考1:我们取一个周期上的正弦、余弦函数图象,如图:

能不能在图象上作出影响图象的五个关键点?

此问题相对简单,学生很容易找到这五个点:

对于,五点为;

对于,五点为.

教师要引导学生分析这五个点的特点,其中三个图象是与x轴的交点,一个最高点(最大值),一个最低点(最小值),其中最值处的左侧与右侧的单调性不同.

借此给出五点作图法的含义:

在函数的图象上起着关键作用的有五个关键点有.描出这五个点后,函数的图象形状就基本确定了.因此在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就得到函数的简图这种作图方法称为“五点法”.

设计意图:让学生自已寻找影响正、余弦函数图象的五个关键点,培养学生观察图象、分析图象的能力.由此得到作三角函数图象的基本方法—五点作图法.

思考2:以小组为单位,分析正、余弦函数的图象,研究正、余弦函数的性质,填表:

函数

图象

定义域

值域

奇偶性

单调性

周期性

对称性

学生以小组为单位合作填表,学生填完,投影学生的分析结果,个别性质由小组成员说明理由.最终给出正、余弦函数的性质:

函数

图象

定义域

R

R

值域

奇偶性

奇函数

偶函数

单调性

在上是增函数;

在上是减函数

在上是增函数;

在上是减函数

周期性

周期是,最小正周期是2π

周期是且,最小正周期是

对称性

对称轴是;

对称中心是

对称轴是;

对称中心是

设计意图:数形结合思想是高中重要的数学思想之一.这里设置小组合作研究性质的方式,一方面培养学生的数形结合能力,在合作探究的过程中,学会观察图象,概括总结,也在思辨总结过程中加深对性质的理解和识记;另一方面,学生在合作交流中,思维共享、提出质疑、解决质疑,在这一过程中,既让学生体会到集体思维的力量,也能激发学生的兴趣,培养学生的合作精神和思辨精神.

三、数学应用

学生在理解和熟记正、余弦函数的图象与性质后,我们要利用作图方式三角函数性质解决数学问题,所以,接下来进入数学应用:

例1、用“五点法”画出下列函数的简图

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