人教B版高中数学必修第四册课后习题 第十一章 立体几何初步 11.4.1 直线与平面垂直.docVIP

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11.4.1直线与平面垂直

课后训练巩固提升

A组

1.下列条件中,能使直线m⊥平面α的是()

A.m⊥b,m⊥c,b⊥α,c⊥α

B.m⊥b,b∥α

C.m∩b=A,b⊥α

D.m∥b,b⊥α

答案:D

2.已知空间四边形ABCD的四边相等,则它的两条对角线AC,BD的关系是()

A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直

C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交

答案:C

解析:空间四边形ABCD的四个顶点不共面,则AC与BD为异面直线.取BD的中点O,连接OA,OC,如图.由AB=AD=BC=CD,得OA⊥BD,OC⊥BD,∵OA∩OC=O,∴BD⊥平面AOC,∴BD⊥AC,故选C.

3.若两直线a与b异面,则过a且与b垂直的平面()

A.有且只有一个

B.可能有一个,也可能不存在

C.有无数多个

D.一定不存在

答案:B

解析:当a与b垂直时,过a且与b垂直的平面有且只有1个;当a与b不垂直时,过a且与b垂直的平面不存在.

4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=2,BB1=1,AC=22,则异面直线BD与AC所成的角为()

A.30° B.45° C.60° D.90°

答案:C

解析:如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则DE∥A1C1.因为AC∥A1C1,所以AC∥DE,所以∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角.由已知可得BD=DE=BE=2,所以∠BDE=60°,所以异面直线BD与AC所成的角为60°.故选C.

5.(多选题)如图所示,在三棱锥V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,则下列结论中一定正确的是()

A.AC=BC

B.VC⊥VD

C.AB⊥VC

D.S△VCD·AB=S△ABC·VO

答案:ACD

解析:因为VA=VB,AD=BD,

所以VD⊥AB.因为VO⊥平面ABC,

AB?平面ABC,所以VO⊥AB.

又因为VO∩VD=V,VO?平面VCD,VD?平面VCD,所以AB⊥平面VCD.

又因为CD?平面VCD,VC?平面VCD,

所以AB⊥VC,AB⊥CD.

又因为AD=BD,所以AC=BC(线段垂直平分线的性质).

因为VO⊥平面ABC,所以VV-ABC=13S△ABC

因为AB⊥平面VCD,所以VV-ABC=VB-VCD+VA-VCD=13S△VCD·BD+13S△VCD·AD=13S△VCD·(BD+AD)=13

所以13S△ABC·VO=13S△

即S△VCD·AB=S△ABC·VO.

综上知,A,C,D正确.

6.如图所示,P,Q,R分别是正方体的棱AB,BB1,BC的中点,则BD1与平面PQR的位置关系是.?

答案:垂直

解析:如图,连接AC,B1C,AB1,由题意知平面AB1C∥平面PQR,易证BD1⊥平面ACB1,所以BD1⊥平面PQR.

7.如图所示,AB是☉O的直径,PA⊥平面☉O,C为圆周上一点,AB=5cm,AC=2cm,则点B到平面PAC的距离为.?

答案:21cm

解析:连接BC.

∵C为圆周上的一点,AB为直径,

∴BC⊥AC.

又PA⊥平面☉O,BC?平面☉O,

∴PA⊥BC.

又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,C为垂足,

∴BC即为点B到平面PAC的距离.

在Rt△ABC中,

BC=AB

8.如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求证:AE⊥BE.

证明:∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面ABE.

又AE?平面ABE,∴AE⊥BC.

∵BF⊥平面ACE,AE?平面ACE,

∴AE⊥BF.

又BF∩BC=B,BF,BC?平面BCE,

∴AE⊥平面BCE.

∵BE?平面BCE,∴AE⊥BE.

9.如图,四边形ABB1A1为圆柱的轴截面(过圆柱轴的截面),C是圆柱底面圆周上异于A,B的任意一点.求证:AC⊥平面BB1C.

证明:因为四边形ABB1A1为圆柱的轴截面,

所以BB1⊥底面ABC.

因为AC?底面ABC,所以BB1⊥AC.

因为AB为底面圆的直径,

且C是底面圆周上异于A,B的任意一点,

所以∠ACB=90°,即BC⊥AC.

又因为BB1∩BC=B,

所以AC⊥平面BB1C.

B组

1.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,则下列结论错误的是 ()

A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BD

C.AC1⊥平面CB1D1 D.AC1⊥BD1

答案:D

解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,由BD∥B1D1,易知A正确;

由BD⊥AC,BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1,

从而BD⊥AC1,即B正确;

由以上可得AC