6.1 幂函数【导学案教师版】 (1).docVIP

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第6章 幂函数、指数函数和对数函数

第01讲幂函数

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课程标准

重难点

理解幂函数的概念；

掌握常见幂函数的图象和性质；

理解并掌握幂函数性质的综合应用．

1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式

2．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小

3．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质．

知识

知识精讲

一、幂函数的概念

一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数．

二、幂函数的图象

在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：

三、幂函数的性质

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝x

y＝x－1

定义域

R

R

R

值域

R

[0，＋∞)

R

奇偶性

奇

偶

单调性

增函数

x∈[0，＋∞)

时，增函数

x∈(－∞，0]

时，减函数

增函数

增函数

x∈(0，＋∞)

时，减函数

x∈(－∞，0)

时，减函数

【思考1】如何判断一个函数是幂函数？

【思考2】通过5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？

参考答案

一、y＝xαxa

三、[0，＋∞){x|x≠0}[0，＋∞){x|x≠0}奇非奇非偶奇

1.xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数.

2.第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象.

能力拓展

能力拓展

考法01幂函数的概念

判断函数为幂函数的方法

(1)自变量x前的系数为1.

(2)底数为自变量x.

(3)指数为常数．

例1(1)下列函数：①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a1)．其中幂函数的个数为()

例1

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】幂函数有①⑥两个．

(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.

【答案】－1

【解析】因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.

【跟踪训练】若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝2，则________．

【答案】4

【解析】设f(x)＝xα，∵f(4)＝2，∴4α＝2，解得α＝，f(x)＝，则。

考法02幂函数的图像与应用

解决幂函数图象问题应把握的两个原则

?1?依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在?0，1?上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴?简记为指大图低?；在?1，＋∞?上，指数越大，幂函数图象越远离x轴?简记为指大图高?.

?2?依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象?类似于y＝x－1或y＝或y＝x3?来判断.

例2(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是()

例2

A．dcbaB．abcdC．dcabD．abdc

【答案】B

【解析】令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．

在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以abcd.故选B.

（2）点(，3)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x分别为何值时，有f(x)g(x)；f(x)＝g(x)；f(x)g(x)?

【解析】设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.因为()α＝3，(－2)β＝－，所以α＝2，β＝－1，

所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．

由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)g(x)；

当x＝1时，f(x)＝g(x)；当x∈(0,1)时，f(x)g(x)．

【跟踪训练】已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．

【解析】因为f(x)＝xα的图象过点P，所以f(2)＝，即2α＝，

得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，

定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．

考法03幂函数性质的综合应用

比较幂值大小的两种基本方法

例3

例3

（1）；（2）；（3）．

【解析