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《函数概念与性质》章末复习

知识网络建构

知识要点整合

一、函数定义域的求法

求函数的定义域分两类情况：具体函数与抽象函数.

具体函数：只要函数解析式有意义就行—解相关不等式（组）；求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式的值非负；等等.

抽象函数：（1）已知函数的定义域为D，求函数的定义域，可由求得x的范围；

（2）已知函数的定义域为D，求函数的定义域，可由求出的范围.

例1已知函数的定义域为，则函数的定义域是_________.

解析由题意得解得，

即所求函数的定义域为.

答案

例2已知函数的定义域是，则函数的定义域是________.

解析由题意可知，，

.

答案

二、函数值域的求法

函数的值域由函数的定义域和对应关系确定，一旦函数的定义域和对应关系确定了，值域也就确定了.而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个地求出来，其构成集合—值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求函数的值域.

常见的求值域的方法如下.

（1）直接法（观察法）：对于有些函数，可直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域.例如，求函数的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数的值域，函数的值域为.

（2）分离常数法：对于一些分式形式的函数，可以利用多项式除法将其化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点求函数的值域.

（3）反解法：例如，求函数的值域.由解出x，得.由，得，即或.故函数的值域为.

（4）图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.

（5）换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解.

例3求下列函数的值域：

（1）；

（2）；

（3）.

解析（1）用直接法（观察法）求解；（2）所求函数解析式为分式，因此可利用分离系数法或反解法求解；（3）中含有根式，可利用换元法求解.

答案（1）由偶次方根的被开方数为非负数，得，即，

所以函数的定义域为，

因此，

所以函数的值域为.

（2）方法一（分离系数法）：

.

而，所以，

因此函数的值域为.

方法二（反解法）：因为分式的分母不能为零，

所以，即，

所以函数的定义域为.

又由得，.

而分式的分母不能为零，所以，即.

所以函数的值域为.

（3）令，则，

所以.

因为，所以，

所以函数的值域为.

例4已知函数的值域是，则实数m的取值范围是_________.

解析设，由已知条件可知y可取到上的所有值，当时，满足题意；当时，需满足解不等式得，或，所以实数m的取值范围是.

答案

三、函数性质的应用

函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、最值，从命题形式上看，抽象函数、具体函数都有，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、单调性研究函数的图象是难点.求函数的最值时，可以先求出值域，再确定最值，也可以利用单调性求最值.

函数单调性与奇偶性的应用的常见题型如下.

（1）用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.

（2）利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.

（3）利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.

（4）利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.

例5（1）函数则的最大值与最小值分别为________,________.

（2）已知函数，若有最小值，则的最大值为________.

解析（1）函数在和上分别是增函数，而且在上，，在上，，

在上是增函数，

.

（2），则函数的图象的对称轴为直线，且开口向下，

在上，函数是增函数.

答案（1）106（2）1

例6已知函数对任意，总有，且当时，.

（1）求证：在R上是减函数；

（2）求在上的最大值和最小值；

（3）解不等式.

解析（1）令，根据定义证明；（2）根据（1）利用单调性求最值；（3）根据已知等式将所求解不等式转化为，然后根据单调性求解.

答案（1）由可得

.

在R上任取，令，

则.

.

又时，，

即，即.

由定义可知在R上是减函数.

（2）在R上是减函数，

在上也是减函数，

在上，最大,最小.

又，

.

.

即在上的最大值为2，最小值为.

（3）由（2）知，

，即，

由（1）知在R上为减函数，

，解得.

故原不等式的解集为.

例7函数的定义域为，且满足对于任意，有.

（1）求的值；

（2）判断函数的奇偶性并证明你的结论；

（3）如果，且在上是增函数，求x的取值范围.

解析