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《函数概念与性质》章末复习

知识网络建构

知识要点整合

一、函数定义域的求法

求函数的定义域分两类情况:具体函数与抽象函数.

具体函数:只要函数解析式有意义就行—解相关不等式(组);求函数定义域的主要依据是:①分式的分母不能为零;②偶次方根的被开方式的值非负;等等.

抽象函数:(1)已知函数的定义域为D,求函数的定义域,可由求得x的范围;

(2)已知函数的定义域为D,求函数的定义域,可由求出的范围.

例1已知函数的定义域为,则函数的定义域是_________.

解析由题意得解得,

即所求函数的定义域为.

答案

例2已知函数的定义域是,则函数的定义域是________.

解析由题意可知,,

.

答案

二、函数值域的求法

函数的值域由函数的定义域和对应关系确定,一旦函数的定义域和对应关系确定了,值域也就确定了.而求函数的值域并没有统一的方法,如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合,那么可将函数值一个一个地求出来,其构成集合—值域;如果函数的定义域是一个无限数集,那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求函数的值域.

常见的求值域的方法如下.

(1)直接法(观察法):对于有些函数,可直接求出函数值,并将所有函数值组成集合,就得到函数的值域.例如,求函数的值域,只需将所有自变量的函数值都求出来,即可得到函数的值域,函数的值域为.

(2)分离常数法:对于一些分式形式的函数,可以利用多项式除法将其化成一个常数与一个分式之和的形式,然后根据分式的特点求函数的值域.

(3)反解法:例如,求函数的值域.由解出x,得.由,得,即或.故函数的值域为.

(4)图象法:通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域.

(5)换元法:根据解析式的特点,可将解析式中某个关于x的整体式设为t,转化为关于t的某种简单的基本初等函数,再确定t的取值范围,进而运用简单的初等函数求值域的方法求解.

例3求下列函数的值域:

(1);

(2);

(3).

解析(1)用直接法(观察法)求解;(2)所求函数解析式为分式,因此可利用分离系数法或反解法求解;(3)中含有根式,可利用换元法求解.

答案(1)由偶次方根的被开方数为非负数,得,即,

所以函数的定义域为,

因此,

所以函数的值域为.

(2)方法一(分离系数法):

.

而,所以,

因此函数的值域为.

方法二(反解法):因为分式的分母不能为零,

所以,即,

所以函数的定义域为.

又由得,.

而分式的分母不能为零,所以,即.

所以函数的值域为.

(3)令,则,

所以.

因为,所以,

所以函数的值域为.

例4已知函数的值域是,则实数m的取值范围是_________.

解析设,由已知条件可知y可取到上的所有值,当时,满足题意;当时,需满足解不等式得,或,所以实数m的取值范围是.

答案

三、函数性质的应用

函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、最值,从命题形式上看,抽象函数、具体函数都有,其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点,利用函数的奇偶性、单调性研究函数的图象是难点.求函数的最值时,可以先求出值域,再确定最值,也可以利用单调性求最值.

函数单调性与奇偶性的应用的常见题型如下.

(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.

(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.

(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小,解不等式.

(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.

例5(1)函数则的最大值与最小值分别为________,________.

(2)已知函数,若有最小值,则的最大值为________.

解析(1)函数在和上分别是增函数,而且在上,,在上,,

在上是增函数,

.

(2),则函数的图象的对称轴为直线,且开口向下,

在上,函数是增函数.

答案(1)106(2)1

例6已知函数对任意,总有,且当时,.

(1)求证:在R上是减函数;

(2)求在上的最大值和最小值;

(3)解不等式.

解析(1)令,根据定义证明;(2)根据(1)利用单调性求最值;(3)根据已知等式将所求解不等式转化为,然后根据单调性求解.

答案(1)由可得

.

在R上任取,令,

则.

.

又时,,

即,即.

由定义可知在R上是减函数.

(2)在R上是减函数,

在上也是减函数,

在上,最大,最小.

又,

.

.

即在上的最大值为2,最小值为.

(3)由(2)知,

,即,

由(1)知在R上为减函数,

,解得.

故原不等式的解集为.

例7函数的定义域为,且满足对于任意,有.

(1)求的值;

(2)判断函数的奇偶性并证明你的结论;

(3)如果,且在上是增函数,求x的取值范围.

解析

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