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地理系统要素关系的

主成分分析

§1主成分分析的概述

一、问题的引出

二、思考

三、概述

§2主成分分析的基本原理

一、主成分分析的意义

l概念

p~是把原来多个指标化为少数几个综合指标的一

种统计方法。是一种数学的排序方法。

l目的

p将原来的一组变量（指标）变换成另外一组分

量的变量；

p把具有许多变量的高维空间通过数学方法变换

成较低维的空间。

§2主成分分析的基本原理

一、主成分分析的意义

l假设

pn个地理区域，p个指标，则有np个观测数据。

l用较少的综合指标代表原来较多的指标

p能尽量多的反映原有信息；

p彼此之间独立。

p选取原则：原指标的线性组合。

§2主成分分析的基本原理

二、主成分分析的数学模型

l原始数据矩阵

12…m指标

1x11x12x1p



地2x21x22x2p

X…

区



nxn1xn2xnp

§2主成分分析的基本原理

二、主成分分析的数学模型

z2变换后坐标的性质：

x2

ln个点的坐标z1、z2的相关

几乎为0；

l二维平面上n个点的波动大

部分可归结为z1轴上的波

z1

动，而z2轴上的波动较小。

x1

§2主成分分析的基本原理

二、主成分分析的数学模型

l则称z1、z2是原指标x1、x2的主成分。

l若长轴方向反映整个信息的75%，则z1就

是x1和x2的综合指标。

z1l11x1l12x2

式中：l11、l12为x1和x2对z1这个综合指标的权值，

或变量x1和x2的回归系数。

§2主成分分析的基本原理

二、主成分分析的数学模型

l长轴为第一主成分z1，短轴为第二主成分z2

l数据点对于原指标和对主成分的值分别为：

xa1,xa2za1,za2

则有：

nnnn

2222

(xa1x1)(xa2x2)(za1z1)(za2z2)

a1a1a1a1

75%25%

§2主成分分析的基本原理

二、主成分分析的数学模型

l若有p个指标x1，x2，…，xp，综合成m个指标

z1，z2，…，zm(m≤p)，可表示为：

z1l11x1l12x2l1pxp



z2l21x1l22x2l2pxp







zmlm1x1lm2x2lmpxp

§2主成分分析的基本原理

二、主成分分析的数学模型

l系数lij的决定原则：

pzi与zj（i≠j，i,j=1,2,…,m）互相无关；

pz1是x1,x2,…,xp的一切线性组合中方差最大的；

z2是与z1不相关的x1,x2,…,xp的所有线性组合中

方差最大的；…；zm是与z1,z2,…,zm-1都不相关

的x1,x2,…,xp的所有线性组合中方差最大的。

lz1，z2，…，zm分别称为原指标的第一，第

二，…，第m主成分。

§2主成分分析的基本原理

二、主成分分析的数学模型

l从几何上看，找主成分的问题就是找出p维

空间中椭球体的主轴问题，就是要在x1~xp

的相关矩阵中m个较大特征值所对应的特征

向量。

补：矩阵的特征值与特征向量

一、矩阵的特征值

l定义：设A为n阶矩阵，λ是一个数，如果方程