第4讲 奇幻无比绝对值的几何意义问题 培优训练 2024-2025学年人教版七年级数学上册.docx

第4讲奇幻无比绝对值的几何意义问题

专题1数轴模型运用(1)——解单绝对值方程

模型-

(1)在数轴上—3与2的距离为_5_;

(2)在数轴点A,B分别表示的数是a,b,则AB=|a-b|_;

模型二

(3)|x—2|=3,则在数轴上与2距离为3的数是5或-1,所以x=_-1或5_;

(4)|x+1|=2,即在数轴上与—1距离为2的数是1或-3,所以x=_1或-3_.

题型利用绝对值几何意义解单绝对值方程问题

【典例1】已知数轴上点A，B分别表示的数是a，b，记A，B两点间的距离为AB.

(1)若|x-1|=2,则x=;

(2)若|a-3|=6,|b+2|=3,且数a,b在数轴上表示的数分别是点A点B,则A,B两点间的最大距离是，最小距离是.

变式1.(1)若|x—2|=3,求x的值;(2)若|x+3|=5,求x的值.

变式2.点A在数轴上，点A所对应的数用a—1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为.

题型二由距离到绝对值

【典例2】数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m的值为.

变式1.若|x-1|=|x+1|,求x的值.

变式2.若|m--4|=|m-16|,求m的值.

专题2数轴模型运用(2)——解双绝对值方程

模型一单绝对值

(1)在数轴上点A表示的数为x，点B表示的数为1.则AB=|x-1|;

(2)在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b,点P表示的数为x,则PA+PB=|x-a|+|x-b|;

模型二双绝对值

(3)在数轴上点A表示的数为x，点B表示的数为1.若AB=2,则x=3或一1.

(4)|x+1|+|x-2|=5,即在数轴与—1,2距离之和为5的数是3或-2,所以x=_3或一2_.

题型-数轴、距离→到绝对值

【典例1】点P在数轴上对应数为x，则点P到—1与3距离之和表示为.

变式.点P在数轴上对应的数为x，则点P到1与2距离之和表示为.

题型二绝对值→数轴上两点间距离

【典例2】(1)若数轴上表示数a的点位于-4与5之间,则|a+4|+|a-5|=;

(2)若|x-1|+|x-5|=6,则x=.

变式1.若|x-2|+|x+1|=5,则x的值是.

变式2.找出满足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是.

题型三多整点问题?双绝对值方程

【典例3】利用数轴求适合|a+5|+|a-3|=8的整数a有个.

变式.找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是·

专题3数轴模型运用(3)——双绝对值求最值

模型一单绝对值

在数轴上点A表示的数为1，点B表示的数为x.

(1)则AB=|x-1|;

(2)若AB=3,则x=4或-2;

模型二双绝对值

(3)若点C表示的数为-2,则AB+BC=|x-1|+|x+2|;

(4)求|x-1|+|x+2|的最小值,即到1与-2距离之和最小值为_3_.

题型一两个绝对值之和，即距离之和，在两点之间最小

【典例1】利用数轴求|x-1|+|x+2|的最小值.

方法小结:(1)|x-a|为数轴上x与a的距离;(2)|x+m|为数轴上x与-m的距离;(3)若ab,|x-a|+|x-b|最小值为b-a,此时a≤x≤b(如图).

变式1.求|x+1|+|x-9|的最小值.变式2.求|x|+|x-2|最小值为.

变式3.若对于所有x有|x-3|+|x+1|≥p,，p为常数，则p的值为.

题型二绝对值之差，即距离之差

【典例2】求|x-1|-|x+2|的最大值.

方法小结：若ab，则|x-a|-|x-b|最大值为b-a，此时x≥b(如图).

变式1.求||x|-|x+3|的最大值.变式2.求|x-5|-|x-1|最大值.

专题4数轴模型运用(4)——多绝对值求最值

题型一三个绝对值求最值——奇点取中间

【典例1】求|x-1|+|x-3|+|x-5|的最小值.

方法小结：(1)若(abc,|x-a|+|x-b|+|x-c||在数轴上表示x与a，b，c距离之和；(2)当x=b时,最小值为c—a.

变式1.|m+1|+|m-9|+|m-16|的最小值为，此时m满足的条件是.

变式2.|x-3|+|x-2|+