专题03椭圆的概念与几何性质（考点清单，知识导图+3考点清单+9题型解读）（解析版）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）.docx

专题03椭圆的概念与几何性质

【清单01】椭圆的概念与标准方程

一．椭圆的定义

(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

(2)焦点：两个定点F1，F2.

(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.

(4)半焦距：焦距的一半．

二.椭圆的标准方程对比

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)

焦点

F1(－c，0)，F2(c，0)

F1(0，－c)，F2(0，c)

a，b，c的关系

a2＝b2＋c2

【清单02】椭圆的几何性质与离心率的求法

一.椭圆的几何性质汇总

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)

范围

－a≤x≤a且－b≤y≤b

－b≤x≤b且－a≤y≤a

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)

轴长

长轴长＝eq\a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq\a\vs4\al(2b)

焦点

F1(－c,0)，F2(c,0)

F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距

|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)

对称性

对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)

离心率

e＝eq\f(c,a)(0e1)

二.椭圆的离心率

1.定义：e＝eq\f(c,a).

2.离心率的范围为：(0,1).

3.公式拓展：e＝eq\f(c,a)=1-b2a

4.e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆.

【清单03】直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的三种位置关系

类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离，相切，相交三种位置关系，如图所示。

利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：

?0?直线与椭圆相交

?=0?直线与椭圆相切

?0?直线与椭圆相离

?0?直线与椭圆相交

二．弦长问题

1.定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦。

2.弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆x2a2+y2b2=1(a

三．中点弦问题

(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法

①根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.

②点差法:利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.

【考点题型一】椭圆的概念与标准方程

方法总结：

我们把平面内与两个定点F1，F2,的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距

【例1】（23-24高二上·江苏盐城·期中）点Px,y在椭圆x24

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】A

【分析】先根据椭圆的标准方程，判断出0,5和0,-5是椭圆的两个焦点及a，b，c的值，再根据椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点的距离之和为定值2

【详解】因为椭圆的标准方程为：x24+y29=1

所以c2=a2-

因为x2+y-52+

根据椭圆的定义，所以x2

故选：A.

【变式1-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的右顶点为A，上顶点为B

??

A．x210+

C．x215+

【答案】A

【分析】根据平行关系得到相似关系，得到b=c，a=2

【详解】由题意得F1

当x=-c时，-c2a

所以PF

因为AB//OP，所以PF1O

故a=

所以2c+c

所以a=

椭圆C的标准方程为x2

故选：A

【变式1-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：x2a2+y

A．x224+

C．x232+

【答案】A

【分析】

由椭圆面积公式求得关于a,b的关系式，结合等边三角形性质可得a,b的基本关系，联立方程即可求解.

【详解】由椭圆面积公式可得Sπ=ab,依题意有

又长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，得a2+

联立①②得：b2

故椭圆的方程为x2

故选：A

【变式1-3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设m为实数，若方程x22-m+y2m

A．32m

C．1m2 D

【答案】D

【分析】利用已知条件，分析椭圆的简单性质，列出不等式，求解即可.

【详解】x22-m+y2m

故选：D

【变式1-4