专题06等差数列的概念与前n项和（考点清单，知识导图+2考点清单+9题型解读）（解析版）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）.docx

专题06等差数列的概念与前n项和

【清单01】等差数列的定义与前n项和

一.等差数列的定义

1.文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．

2.符号语言：若an－an－1＝d(n≥2)，则数列{an}为等差数列

二.等差数列的通项公式

已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

递推公式

通项公式

an－an－1＝d(n≥2)

an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)

三.等差中项

如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝eq\f(a＋b,2).

四.等差数列的证明

1.定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)?{an}为等差数列；

2.等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}为等差数列．

五.等差数列的性质

1.通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

2.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．

3.若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．

4.若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

【清单02】等差数列的前n项和

一.数列的前n项和

对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.

二．等差数列的前n项和公式

已知量

首项，末项与项数

首项，公差与项数

选用公式

S

Sn=

三．等差数列前n项和的性质

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和：

1.数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．

2.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质

①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；

②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).

3.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为eq\f(S2n－1,T2n－1)＝eq\f(an,bn).

【考点题型一】等差数列基本量的计算

方法总结：等差数列的基本运算：

(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．

(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．

【例1】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知等差数列an的前n项和为Sn，3a4-

A．78 B．100 C．116 D．120

【答案】D

【分析】先利用等差数列的通项公式及求和公式列方程组求出首项和公差，进而用求和公式求出S10即可

【详解】设等差数列an的公差为d

3a

解得a1

则S10

故选：D.

【变式1-1】（23-24高二上·江苏南京·期中）设等差数列an的前n项和为Sn，若S6S3

A．32 B．4 C．94 D

【答案】C

【分析】由已知条件利用等差数列前n项和公式推导出d=2a1

【详解】设等差数列an的首项为a1，公差为

∵等差数列an的前n项和为Sn，

∴6a1+

∴S9

故选：C.

【变式1-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）等差数列an中，若2a3+a

A．36 B．24 C．18 D．9

【答案】B

【分析】由等差数列通项公式求基本量得a1+4d=

【详解】令an的公差为d，则2a3

则a2

故选：B

【变式1-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知an为等差数列，a2=8，a

【答案】32

【分析】由等差数列的性质求解即可.

【详解】因为an为等差数列，a2=8，a

所以d=

所以a10

故答案为：32.

【变式1-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）在等差数列an中，若a8=6,a11=0，则

【答案】20

【分析】根据条件先计算出公差d，然后根据a8=a

【详解】设等差数列的公差为d，

因为a8=6,a

所以d=

所以a8

所以a1

故答案为：20.

【考点题型二】等差数列的通项公式

方法总结：等差数列通项公式的求法与应用技巧

(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．

(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．

(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．

【例2】（23-