专题08数列的通项与求和（考点清单，知识导图+3考点清单+7题型解读）（解析版）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）.docx

专题08数列的通项与求和

【清单01】数列的递推公式

1、递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

2、通项公式和递推公式的异同点

不同点

相同点

通项公式

可根据某项的序号n的值，直接代入求出an

都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项

递推公式

可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出an

【清单02】数列通项公式的求法

1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．

2、公式法

（1）使用范围：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an

（2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．

3、累加法：适用于an+1=

要点：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解

4、累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为eq\f(an＋1,an)＝f(n)

要点：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解

5、构造法：形如an+1=pan+

【清单03】数列求和的方法

1、公式法

（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．

（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．

（3）一些常见的数列的前n项和：

①；

②；

③；

=4\*GB3④

2、分组转化法求和

（1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．

（2）常见类型：

=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列；

=2\*GB3②通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.

3、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

例如，．

4、倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．

5、裂项相消法求和：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和．

6、错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求.

【考点题型一】已知Sn与a

方法总结：已知Sn求an的三个步骤

（1）利用a1＝S1求出a1.

（2）当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．

（3）看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))

根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．

（1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．

（2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．

【例1】（23-24高二下·江苏盐城·期中）如果数列an的前n项和Sn=n2

A．23 B．24 C．25 D．26

【答案】C

【分析】根据题意，结合a12=

【详解】由数列an的前n项和S

可得a12

故选：C.

【变式1-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2

【答案】a

【分析】代入n=1，得出a1.根据an=Sn

【详解】当n=1时，a

当n≥2时，an=S

因为2×

所以，an

故答案为：an

【变式1-2】（22-23高二下·江苏镇江·期中）数列an的前n项和记为Sn，若Sn=

【答案】-

【分析】根据an,

【详解】解：当n≥2时，有

但当n=1时，a

故an

故答案为:-1,

【变式1-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）记Sn为数列an的前n项和，Tn为数列Sn的前n项和