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四种模型一种思想——完美解决数列通项问题
要处理好数列的递推公式，首先要非常熟悉四种递推式模型的处
理方法，剩下的就交给“化归思想”，对代数式进行相应的变形处理。
等差型
01
迭代法
02
叠加法
例题
小试
——
——
等和型
01
迭代作差，分奇偶项
例题
小试
——
——
等比型
01
迭代法
02
累积法
例题
小试
——
——
等积型
01
迭代作商，分奇偶项
例题
小试
——
——好了，有了这四个基本形式，那我们就可以依据它们，随心
所欲地处理递推式的一般形式了。当然，其中对代数变形能力的考查，
也是会让很多学生无从下手！
▼
变1
称为常系数一阶线性式，但与等差型相比，也只是系数之间的差
异，故首先考虑消除这种系数差异。
常见两种变化方法:
1.等式两边同除以An，将递推式转化为等差型，用叠加法或迭代
法处理。
2.用待定系数法，将递推式转化为等比型，利用等比数列通项公
式处理。
变2
此递推式与常系数一阶线性式的区别，主要为a项系数不再为
n-1
常数，故不能再按“变1”的方式进行改造,但依照化归思路，必须将
其通过代数变形后，转化为四种基本形式之一。
此种形式递推式
常用待定系数法将其转化为
变3
此递推公式与一阶线性式的区别，仅是多了一个项，故可先将其
转化为“常系数一阶线性式”，再进行处理，转化为“常系数一阶线
性式”时依然用待定系数法。
特别补充①
形如
形式递推公式
称为二阶常系数齐次线性递推式
这种形式递推式
可用特征根法
▼
特征方程为
当然
如果在实数范围内无解时
可用虚根
高中阶段一般不研究
变4
这种常系数非齐次递推公式，主要思路首先要将项的次数降为齐
次，主要方法可采用等式两边取对数，将递推式转化为四种基本形式
之一。
变5
此递推式与“变4”相同之处为“常系数二次非齐次式”，但等式
两边不为乘方形式，达不到两边取对数的条件，故首先考虑将式子两
边都整理为
这样，就可以取对数了。
变6
这种含有交叉项的“常系数二次非齐次式”，首先当然要考虑消
除交叉项了，因为这样就可以转化为前面的某些形式。
因为没有常数项，一般可有两种思路：
1.两边同时除以交叉项，达到转化为“常系数一阶线性式”：
再构造等差型或等比型处理。
2.将等式转化为分式型：
再通过取倒数，达到化为“常系数一阶线性式”，再构造等差型
或等比型处理。
变7
和“变6”相比，递推式中不仅有交叉项，同时有常数项，此式已
不再具备两边同除以交叉项的条件，但转化为分式型：
因分子中出现常数项，也不符合“变6”取倒数的条件，这时就需
要用到待定系数法，构造取倒条件。
特别补充②
形如
形式递推公式
通过转化后一般可成为
这种形式递推式
有一种特别的方法
不动点法
▼
首先构造特征方程
当然
中学阶段
方程在实数范围内无解时
则可以考虑数列
会不会是周期数列
就象是下面这个样子
按照这个方向摸索
如果幸运
就会发现它的周期了
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