专题11 复数（原卷版）.docx

高三数学百所名校好题分项解析汇编之上海专版(2020版)

专题11复数

一、单选题

1．设，则是为纯虚数的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知均为复数，则下列命题不正确的是（）

A．若则为实数 B．若，则为纯虚数

C．若，则为纯虚数 D．若，则

3．复数等于（）

A． B． C． D．

4．设，若复数是纯虚数，则点一定满足（）

A． B． C． D．

5．（上海市崇明区2018届高三4月模拟）若是关于的实系数方程的一个复数根，则（）

A．， B．，

C．， D．，

6．已知下列4个命题：

①若复数的模相等，则是共轭复数．

②都是复数，若是虚数，则的共轭复数．

③复数是实数的充要条件是．（是的共轭复数）．

④已知复数（是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C.O为坐标原点．若（），则.

则其中正确命题的个数为（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

二、填空题

8．若复数z满足，其中i为虚数单位，则_____．

9．设复数，，若，则的值等于______．

10．若复数（x，，i为虚数单位）满足，则的最小值为_______.

11．如果复数满足那么______.

12．若复数z满足，其中i为虚数单位，则______．

13．已知复数（为虚数单位），复数满足，则__________.

14．若复数满足，其中是虚数单位，则的虚部为________

15．已知复数（是虚数单位），且，则当为钝角时，______.

16．已知复数，（，为虚数单位），在复平面上，设复数、对应的点分别为、，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期为________.

17．若复数满足（i为虚数单位，），则________

18．已知复数（），，若，则_______.

19．已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，则实数的取值范围是________.

20．设是复数，表示满足时的最小正整数，是虚数单位，则________.

21．已知复数集合，其中为虚数单位，若复数，则对应的点在复平面内所形成图形的面积为________

22．国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，则____（其中为虚数单位）．

三、解答题

23．已知复数，，为虚数单位，.

（1）若为实数，求的值；

（2）若复数、对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围.

24．在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位.

（1），，计算与；

（2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.