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全等三角形基本模型训练
全等模型一一线三等角模型
例题:【探究】如图①,点B、C在的边上,点E、F在内部的射线上,分别是、△CAF的外角.若,,求证:△ABE≌△CAF.
【应用】如图②,在等腰三角形ABC中,,,点D在边上,,点E、F在线段上,,若的面积为9,则与的面积之和为.
【答案】探究:见解析;应用:6
【分析】探究:根据,,得出,根据,得出,再根据证明即可;
应用:根据全等三角形的性质得出:,进而得出,根据,的面积为9,得出,即可得出答案.
【详解】探究
证明:∵,,
又∵,
∴,
∵,
∴,
在和△CAF中,
∴;
应用
解:∵△ABE≌△CAF,
∴,
∴,
∵,的面积为9,
∴,
∴与的面积之和为6,
故答案为:6.
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,掌握全等三角形的判定是解题的关键.
巩固训练
1.(23-24八年级上·广西南宁·开学考试)如图,是经过顶点C的一条直线,,E、F分别是直线上两点,且.
(1)若直线经过的内部,且E、F在射线上.
①如图1,若,,试判断和的数量关系,并说明理由;
②如图2,若,请添加一个关于α与关系的条件,使①中的条件仍然成立,并说明理由.
(2)如图3.若直线经过的外部,,请提出关于,,三条线段数量关系的合理猜想,并说明理由.
【答案】(1)①证明见解析;②,理由见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理,(1)①由,,可得,从而可证,故.
②若,则可使得.根据题目已知条件添加条件,再使得一对角相等,便可得证.
(2)题干已知条件可证,故,,从而可证明.
【详解】(1)解:①
证明:∵,
∴.
又∵,
∴.
在和中,
,
∴.
∴.
②解:,理由如下:
∵,
∴.
又∵,
∴.
又∵,
∴.
∴.
∴.
在和中,
,
∴.
∴.
(2)解:,理由如下:
∵,
∴,
又∵,
∴.
∴.
在和中,
,
∴.
∴,.
∴,即.
2.(24-25八年级上·全国·假期作业)(1)如图①,已知:中,,,直线经过点,于,于,求证:;
(2)拓展:如图②,将(1)中的条件改为:中,,、、三点都在直线上,并且,为任意锐角或钝角,请问结论是否成立?如成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)应用:如图③,在中,是钝角,,,,直线与的延长线交于点,若,的面积是,求与的面积之和.
【答案】(1)见解析;(2)成立,见解析;(3)8
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形内角和定理,不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比.熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
(1)证明,则,,;
(2)同理(1)证明即可;
(3)同理(2)可得,,则,设的底边上的高为,则的底边上的高为,,,由,可得,根据,求解作答即可.
【详解】(1)证明:直线,直线,
∴,
∵,
∴,即,
∵,
∴,
∴,,
∴,
∴;
(2)解:结论成立;理由如下:
∵,
∴,即,
∵,
∴,
∴,,
∴,
∴;
(3)解:同理(2)可得,,
∴,
设的底边上的高为,则的底边上的高为,
∴,,
,
∴,
∴,
∴与的面积之和为8.
全等模型二三垂直模型
例题:通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题:
(1)如图1,点A在直线l上,,过点B作于点C,过点D作交于点E.得.又,可以推理得到.进而得到结论:_____,_____.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型;
(2)如图2,∠于点C,于点E,与直线交于点,求证:.
【答案】(1),
(2)见解析
【分析】本题考查一线三直角全等问题,
(1)由,得,则,而,即可证明,得,,于是得到问题的答案;
(2)作于点,因为于点,于点,所以,由(1)得,因为,所以,则,而,即可证明,得,所以,再证明,则.
【详解】(1))解:于点,于点,
∴,
∵,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,,
故答案为:,.
(2)证明:如图2,作于点,
∵于点,于点E,
∴,
由,
同理(1)得,
∴,
在和中,
∴,
∴.
巩固训练
1.(2024上·吉林辽源·九年级统考期末)如图,在中,,,直线经过点C,且于D,于E.
(1)当直线绕点C旋转到①的位置时,求证:①;②;
(2)当直线绕点C旋转到②的位置时,求证:;
(3)当直线绕点C旋转到③的位置时,试问、、具有怎样的数量关系?请直接写出这个等量关系,不需要证明.
【答案】(1)①见解析;②见解析
(2)见解析
(3)(或,).
【分析】本题考查了几何变换综合题,需要掌握全等三角形的性质和判定,垂线的定义等知识点的应用,解此题的关键是推出证明和全等的三个条件.题型较好.
(1)①已知已有两直角相等和,再由同角的余角相等证明即可证明;
②由全等三角形
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