模型训练：全等三角形基本模型（解析版）.docx

全等三角形基本模型训练

全等模型一一线三等角模型

例题：【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、△CAF的外角．若，，求证：△ABE≌△CAF．

【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为．

【答案】探究：见解析；应用：6

【分析】探究：根据，，得出，根据，得出，再根据证明即可；

应用：根据全等三角形的性质得出：，进而得出，根据，的面积为9，得出，即可得出答案．

【详解】探究

证明：∵，，

又∵，

∴，

∵，

∴，

在和△CAF中，

∴；

应用

解：∵△ABE≌△CAF，

∴，

∴，

∵，的面积为9，

∴，

∴与的面积之和为6，

故答案为：6．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．

巩固训练

1．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．

(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上．

①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由；

②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由．

(2)如图3.若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由．

【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析

(2)

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，（1）①由，，可得，从而可证，故．

②若，则可使得．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，便可得证．

（2）题干已知条件可证，故，，从而可证明．

【详解】（1）解：①

证明：∵，

∴．

又∵，

∴．

在和中，

，

∴．

∴．

②解：，理由如下：

∵，

∴．

又∵，

∴．

又∵，

∴．

∴．

∴．

在和中，

，

∴．

∴．

（2）解：，理由如下：

∵，

∴，

又∵，

∴．

∴．

在和中，

，

∴．

∴，．

∴，即．

2．（24-25八年级上·全国·假期作业）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：；

（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，求与的面积之和．

【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）8

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

（1）证明，则，，；

（2）同理（1）证明即可；

（3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可．

【详解】（1）证明：直线，直线，

∴，

∵，

∴，即，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴；

（2）解：结论成立；理由如下：

∵，

∴，即，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴；

（3）解：同理（2）可得，，

∴，

设的底边上的高为，则的底边上的高为，

∴，，

，

∴，

∴，

∴与的面积之和为8．

全等模型二三垂直模型

例题：通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；

(2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：．

【答案】(1)，

(2)见解析

【分析】本题考查一线三直角全等问题，

（1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案；

（2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则．

【详解】（1））解：于点，于点，

∴，

∵，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

故答案为：，．

（2）证明：如图2，作于点，

∵于点，于点E，

∴，

由，

同理（1）得，

∴，

在和中，

∴，

∴．

巩固训练

1．（2024上·吉林辽源·九年级统考期末）如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．

(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；

(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；

(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．

【答案】(1)①见解析；②见解析

(2)见解析

(3)(或，)．

【分析】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明和全等的三个条件．题型较好．

（1）①已知已有两直角相等和，再由同角的余角相等证明即可证明；

②由全等三角形