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2023-2024学年山东省青岛市莱西市三校联考八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一．选择题（共8小题，24分）
1.在RtABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA=（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意，作出图形，设，则，利用勾股定理求得，根据正切的定义求得即可．
【详解】解：如图，在中，，
，
设，则，
由勾股定理可得，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角形函数的定义、勾股定理解直角三角形，理解三角函数的定义是解题关键．
2.如图，是的直径，内接于，延长在外相交于点，若，则的度数是（）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据圆内接四边形，得出，根据是直径得出，则，根据垂径定理得出，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，垂径定理，直径所对的圆周角是直接，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3.如图，在?ABCD中，点E在AD上，且AE＝2ED，CE交对角线BD于点F，若S△DEF＝2，则S△BCF为（）
A.4 B.6 C.9 D.18
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可解决问题．
【详解】解：∵AE＝2ED，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD，
∴△EDF∽△CBF，
∴，
∴（）2，
∵S△EDF＝2，
∴S△BCF＝18．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．
4.如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西30°方向航行至C港，则A，C两港之间的距离是（）
A. B.30 C.40 D.50
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方位角问题、直角三角形的判定与性质，先根据方位角判断三角形的形状，然后利用勾股定理计算是解此题的关键．
【详解】解：如图，
由题意得：，，
∴，
∴，
在中，，
，
∴A，C两港之间的距离为，
故选：D．
5.如图，在中，点D在线段上，请添加一条件使，则下列条件中不正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据相似三角形的判定方法，两组对应角对应相等，和两组对应边对应成比例，夹角相等，进行判断即可．
【详解】解：在和中，，
要使，只需，，或或即可；
当时，
∵，
∴，能使；
综上：只有选项A不能证明；
故选A．
6.如图，是边长为6的等边三角形，点D，E在边上，若，，则的长度是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由于是等边三角形，还给出，所有考虑直接把转移到一个直角三角形中求解，那么这个角度如何利用，恰好想到过点A作的垂线直接得到了，可求，再利用正切，可求,最后在求．
【详解】∵是等边三角形；
∴；
过点作的垂线，垂足为；
∴；
∴；
∵；
∴；
∵；
；
∴；
在中，
；
中；
；
∴；
∴；
∴；
∴；
∵；
∴；
故选．
7.如图，是的直径，，，是上的三点，，点是的中点，点是上一动点，若的半径为，则的最小值为（）
A.1 B. C. D.﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题、圆周角定理以及等腰直角三角形的性质作点关于的对称点，连接、、、，根据轴对称确定最短路线问题可得＋的最小值为，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的倍求出，然后可得，再求出，根据对称性及图形得出，从而判断出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得的长度．
【详解】解：作点关于的对称点，连接、、、，则＋的最小值，
，
，
，
点为的中点，
，
由对称性可得，，
，
是等腰直角三角形，
，即＋的最小值为．
故选C．
8.如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质得到，勾股定理求得，即当最小时，有最小值，当时，最小，求出即得的最小值．
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
即当最小时，有最小值，
∵等边三角形的边长为，为边上一动点，
∴当时，最小，此时，
∴，即的最小值为3，
故选：D．
【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握切线的性质定
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