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专题12单调性与最大（小）值
目录：
题型1：求函数的单调区间
题型2：定义法判断或证明函数的单调性
题型3：根据解析式判断函数的单调性
题型4：求复合函数的单调区间
题型5：求复合函数的单调区间-抽象函数
题型6：根据函数的单调性求函数的最值或值域
题型7：根据函数的最值或单调性求参数
题型8：对勾函数，类对勾函数
题型9：比较函数值的大小关系
题型10：根据函数的单调性解不等式
题型11：函数不等式恒成立问题
题型12：函数不等式有解问题
题型1：求函数的单调区间
1．函数的单调递增区间是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接由二次函数的单调性求解即可.
【解析】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是.
故选：B.
2．若函数的图象如图所示，则其单调递减区间是（????）
A．， B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用图象判断函数单调性的方法直接写出函数单调递减区间.
【解析】观察函数的图象，可知函数的单调递减区间为.
故选：B
3．函数在（????）
A．上是增函数 B．上是减函数
C．和上是增函数 D．和上是减函数
【答案】C
【分析】分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果.
【解析】，
函数的定义域为，
其图象如下：
由图象可得函数在和上是增函数.
故选：C
4．设函数f（x）＝|x2﹣4x+3|，x∈R．
（1）在区间[0，4]上画出函数f（x）的图象；
（2）写出该函数在R上的单调区间．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）化简函数解析式，利用列表、描点和连线画出函数的图像；
（2）利用函数图像，写出函数的单调区间即可.
【解析】解：（1）函数f（x）＝|x2﹣4x+3|＝|（x﹣2）2﹣1|；
（列表，描点，作图）
x
0
1
2
3
4
y
3
0
1
0
3
（2）根据函数f（x）的图像，不难发现，
函数f（x）在x∈（﹣∞，1]上单调递减；
函数f（x）在x∈[1，2]上单调递增；
函数f（x）在x∈[2，3]上单调递减；
函数f（x）在x∈[3，+∞）上单调递增．
【点睛】此题考查了函数图像的画法，描点法的应用，以及函数的图像的应用，考查作图能力，属于基础题.
题型2：定义法判断或证明函数的单调性
5．用定义证明函数在区间上单调递减．
【答案】证明见解析.
【分析】令，应用作差法判断的大小关系，即可证明结论.
【解析】任取，且，有，
由，则，，且，，
∴，即，
∴在区间上单调递减．
6．已知函数，判断函数在(-2,+∞)上单调性并给出证明.
【答案】单调递增，证明见解析
【分析】利用函数单调性的定义，在给定区间内设并判断的大小关系即可求证单调性.
【解析】在(-2,+∞)上单调递增，
证明：?∈(-2,+∞)，且，又=，
∴==，而，，，???????????
∴0，即，
∴在(-2,+∞)上单调递增.
7．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明.
【答案】（1）；（2）单调递减，证明见解析.
【解析】（1）由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，即可求解.
（2）利用定义法证明函数的单调性，主要分为：1．取值，在某一区间内任意取值；2．作差、3．变形，一般情况下要进行因式分解、直至能判号为止；3．定号；4．下结论.
【解析】（1）要使函数有意义，当且仅当.
由得，
所以，函数的定义域为.
（2）函数在上单调递减.
证明：任取，，设，则
.
∵，∴，，，
又，所以，故，即，
因此，函数在上单调递减.
8．判断函数的单调性,并用单调性定义证明.
【答案】函数在上为增函数.见解析
【解析】利用单调性的定义可证明在和上为增函数.
【解析】函数的定义域为，
任取，且，则，
那么.
∵，∴.
又∵，∴，∴，从而.
因此，函数在上为增函数，
同理在上也为增函数，
∴函数在上为增函数.
【点睛】本题考查函数单调性的证明，证明的基本步骤为取点、作差、定号，最后给出结论，定号时需将差因式分解，以便于定号，本题考查了学生的推理论证能力，本题属于基础题.
题型3：根据解析式判断函数的单调性
9．在下列函数中：①，②，③，④，在上为增函数的有（????）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【答案】B
【分析】根据范围直接去绝对值号，进而判断函数单调性，从而得解.
【解析】因为，
所以①在上单调递减，不符合题意；
②在上为常函数，不符合题意；
③在上单调递增，符合题意；
④在上单调递增，符合题意；
故符合题意的为③④.
故选：B.
10．下列命题正确的是（????）
A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数
C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同
【答案】C
【分析】分别判断出，
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