专题12 定点问题(模拟+真题)原卷版_1.docxVIP

专题12 定点问题(模拟+真题)原卷版_1.docx

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专题12定点问题

1.(2022·全国·模拟预测)已知椭圆:的左、右焦点分别为,,为椭圆上一动点(异于左、右顶点),若的周长为6,且面积的最大值为.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)过点作不与轴重合的直线与椭圆相交于,两点,直线的方程为:,过点作垂直于直线于点,求证:直线必过轴一定点.

2.(2024·陕西西安·西安中学校考一模)已知双曲线,其左、右顶点分别为,其离心率为,且虚轴长为.

(1)求双曲线的标准方程;

(2)一动点与的连线分别与双曲线的右支交于,两点,且恒过双曲线的右焦点,求证:点在定直线上.

3.(2024·陕西咸阳·统考模拟预测)已知椭圆的离心率为,依次连接四个顶点得到的图形的面积为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过直线上一点P作椭圆C的两条切线,切点分别为M,N,求证:直线过定点.

4.(2024·贵州·校联考模拟预测)已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.

(1)求抛物线的方程;

(2)过点任意作互相垂直的两条直线,分别交曲线于点A,B和M,N.设线段,的中点分别为P,Q,求证:直线恒过一个定点.

5.(2024·全国·模拟预测)在平面直角坐标系xOy中,已知点,,P为平面内一动点,记直线的斜率为k,直线的斜率为,且,记动点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程;

(2)若直线与曲线C交于M,N两点(点M在第一象限,点N在第四象限),记直线,的斜率为,直线的斜率为,若,求证:直线过定点.

6.(2023·河南·统考模拟预测)已知椭圆E的左、右焦点为,过的直线交椭圆于,两点,的周长为.

(1)求椭圆的方程;

(2)点,分别为椭圆的上、下顶点,过直线上任意一点作直线和,分别交椭圆于,两点.证明:直线过定点.

7.(难度★★)已知椭圆C:(ab0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.

(1)求C的方程;

(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.

8.(2023·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期中)在平面直角坐标系中,椭圆C:(ab0)过点,离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过点K(2,0)作与x轴不重合的直线与椭圆C交于A,B两点,过A,B点作直线l:x=的垂线,其中c为椭圆C的半焦距,垂足分别为A1,B1,试问直线AB1与A1B的交点是否为定点,若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.

9.(2023·甘肃天水·高二统考期末)已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率,点在E上.

(1)求E的方程;

(2)过点作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A,B和C,D,若M,N分别是弦AB,CD的中点,证明:直线MN过定点.

10.(2023·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中)在平面直角坐标系中,椭圆:的左,右顶点分别为、,点是椭圆的右焦点,,.

(1)求椭圆的方程;

(2)不过点的直线交椭圆于、两点,记直线、、的斜率分别为、、.若,证明直线过定点,并求出定点的坐标.

11.(2023·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中,动点M到直线的距离等于点M到点的距离的2倍,记动点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程;

(2)已知斜率为的直线l与曲线C交于A、B两个不同点,若直线l不过点,设直线的斜率分别为,求的值;

(3)设点Q为曲线C的上顶点,点E、F是C上异于点Q的任意两点,以为直径的圆恰过Q点,试判断直线是否经过定点?若经过定点,请求出定点坐标;若不经过定点,请说明理由.

12.(2023·广西·高三象州县中学校考阶段练习)在直角坐标系中,动点M到定点的距离比到y轴的距离大1.

(1)求动点M的轨迹方程;

(2)当时,记动点M的轨迹为曲线C,过F的直线与曲线C交于P,Q两点,直线OP,OQ与直线分别交于A,B两点,试判断以AB为直径的圆是否经过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

13.在平面直角坐标系中,动点Р到点的距离与到直线的距离之比为,设动点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程;

(2)过作两条垂直直线,分别交曲线C于和,且分别为线段的中点,证明直线过定点,并求出定点的坐标.

14.已知椭圆的上?下顶点分别是,点(异于两点)在椭圆上,直线与的斜率之积为,椭圆的长轴长为6.

(1)求的标准方程;

(2)已知,直线与椭圆的另一个交点为,且直线与相交于点,证明:点在定直线上.

15.在直角坐标平面内,已知,动点满足条件:直线与直线的斜率之积等于,记动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程;

(2)过点作直线交于两点(与不重合),直线与的交点是否在一条定直线上?若是,求出这条定直线的方程;若不是,请说明理由.

16.已知点、在椭圆

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