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专题13定值问题
1、已知椭圆：离心率，且经点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点D，且，设直线，，的斜率分别为，，，若，证明为定值．
2、已知椭圆过点，离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点的斜率为直线交椭圆于另一点，若的面积为2，其中为坐标原点，求直线的斜率的值；
(3)设过点的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，．求证：线段的中点为定点．
3、设椭圆：的左、右顶点分别为C，D，且焦距为2.F为椭圆的右焦点，点M在椭圆上且异于C，D两点.若直线与的斜率之积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作一条斜率不为0的直线与椭圆E相交于A，B两点（A在B，P之间），直线与椭圆E的另一个交点为H，求证：点A，H关于x轴对称.
4．椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值.
5、（2024下·广西桂林·高二桂林中学校联考开学考试）已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为．
(1)求椭圆的方程．
(2)设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值．
6、（2024上·河南焦作·高三统考期末）已知椭圆的离心率为，直线过的上顶点与右顶点且与圆相切．
(1)求的方程．
(2)过上一点作圆的两条切线，（均不与坐标轴垂直），，与的另一个交点分别为，．证明：
①直线，的斜率之积为定值；
②．
7、（2024下·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，右焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的方程；
(2)设动直线与相切于点A，且与直线相交于点，点为平面内一点，直线的倾斜角分别为．证明：存在定点，使得．
8、（2024下·重庆·高三西南大学附中校联考开学考试）如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点．
??
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：；
(3)若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值．
9、（2024·四川德阳·统考模拟预测）已知圆：，点是圆上的动点，点是圆内一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)为直线：上的动点，、为曲线与轴的左右交点，、分别与曲线交于、两点.证明：为定值.
10、（2024下·山东·高三校联考开学考试）已知抛物线是上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，则称三角形为抛物线的外切三角形．
(1)当点的坐标为为坐标原点，且时，求点的坐标；
(2)设外切三角形的垂心为，试判断是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理由；
(3)证明：三角形与外切三角形的面积之比为定值．
11、（2024下·江西·高三校联考开学考试）已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点.
(1)若点为上一动点，求的最大值与最小值；
(2)若，求的斜率；
(3)在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
12、（2024下·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）已知双曲线的离心率为，右焦点为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．
13、（2024上·浙江嘉兴·高三统考期末）已知，分别是双曲线的左，右顶点，，点到其中一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程：
(2)过点的直线l与C交于M，N两点（异于，两点），直线OP与直线交于点Q．若直线与的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出此定值；否不是，请说明理由．
14、（2024下·山东·高三山东省实验中学校联考开学考试）已知双曲线的离心率为，左、右顶点分别为，点，且的面积为2．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，直线交于点，直线与轴交于点为坐标原点，证明：为定值．
15、（2024下·安徽·高三校联考阶段练习）已知双曲线（，）的左顶点为，过点的动直线l交C于P，Q两点（均不与A重合），当l与x轴垂直时，.
(1)求C的方程；
(2)若直线AP和AQ分别与直线交于点M和N，证明：为定值.
16、（2024下·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）已知双曲线的左?右焦点分别为，点在上，且的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
17、（2024上·安徽黄山·高二统考期末）如图，已知曲线是以原点
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