人教B版高中数学必修第一册课后习题 第3章 函数 3.1.1 第4课时 分段函数及其应用.docVIP

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第4课时分段函数及其应用

课后训练巩固提升

A组

1.已知函数f(x)=x-

A.2 B.3 C.4 D.5

解析:f(3)=f(3+2)=f(5),f(5)=f(5+2)=f(7).

而f(7)=7-5=2,故f(3)=2.

答案:A

2.下列图形是函数y=x|x|的图象的是()

解析:y=x|x|=x2

答案:D

3.(多选题)已知函数f(x)=2x

A.f(x)的定义域为R

B.f(2)=2

C.若f(a)=12,则a=

D.f(x)的值域为[0,2]∪{3}

解析:f(x)的定义域为[0,+∞),f(2)=3.

由f(a)=12知2a2=1

则a=12

当0≤x≤1时,f(x)=2x2∈[0,2];

当1x2时,f(x)=2;当x≥2时,f(x)=3.

故f(x)的值域为[0,2]∪{3}.

∴CD正确.

答案:CD

4.已知函数f(x)=x+2,x≤-1,

解析:当x≤-1时,x+2=3,解得x=1,不合题意;

当-1x2时,x2=3,解得x=3或x=-3(舍去).故x=3.

f(-2)=-2+2=0,∴f(f(-2))=f(0)=02=0.

答案:30

5.若定义运算a☉b=b,a≥b,a,

解析:由题意,得f(x)=2-

答案:(-∞,1]

6.已知函数f(x)=x+4

(1)求f(f(f(5)))的值;

(2)画出函数f(x)的图象.

解:(1)∵54,

∴f(5)=-5+2=-3.

∵-30,∴f(f(5))=f(-3)=-3+4=1.

∵01≤4,

∴f(f(f(5)))=f(1)=12-2×1=-1.

(2)f(x)的图象如图所示.

7.在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P,从点B开始,沿折线BCDA向A点运动(如图).设点P移动的距离为x,△ABP的面积为y,求函数y=f(x)及其定义域.

解:如图,当点P在线段BC上,即0≤x≤4时,y=12

当点P在线段CD上,即4x≤8时,y=12

当点P在线段DA上,即8x≤12时,y=12

故y=f(x)=2x

且f(x)的定义域是[0,12].

B组

1.设函数f(x)=x,0x1,

A.2 B.4

C.6 D.8

解析:由已知得a0,则a+11.

∵f(a)=f(a+1),

∴a=2(a+1-1),

解得a=14

∴f1a

故选C.

答案:C

2.(多选题)设x∈R,定义符号函数sgnx=1,x0

A.定义域为R

B.sgn(sgn(-5))=-1

C.值域为[-1,1]

D.|x|=xsgnx

解析:定义域为(0,+∞)∪{0}∪(-∞,0)=R;sgn(-5)=-1,

∴sgn(sgn(-5))=sgn(-1)=-1;值域为{-1,0,1};当x0时,|x|=x,xsgnx=x×1=x;

当x=0时,|x|=xsgnx=0;当x0时,|x|=-x,xsgnx=x×(-1)=-x.

∴|x|=xsgnx.

答案:ABD

3.如图,函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成,则该函数的解析式为.?

解析:当x≤1时,设f(x)=kx+b,

由f(0)=b=2,f(1)=k+b=1,得b=2,k=-1,即f(x)=-x+2;

同理可得当x≥3时,f(x)=x-2;当1≤x≤3时,

设f(x)=a(x-2)2+2,a0,

又f(1)=a(1-2)2+2=1,

解得a=-1,则f(x)=-(x-2)2+2=-x2+4x-2,

所以y=f(x)=-

答案:y=-

4.已知f(x)=1,x≥0,

解析:当x≥0时,f(x)=1,代入xf(x)+x≤2,解得x≤1,即0≤x≤1;

当x0时,f(x)=0,代入xf(x)+x≤2,解得x≤2,即x0.

综上可知x≤1.

答案:{x|x≤1}

5.分段函数f(x)=x,x0,-x,x≤0可以表示为f(x)=|x|,分段函数f(x)=x

解析:因为f(x)=x,x≤3,3,

又当x6时,f(x)=6,故|x-6|的前面应取“+”.

因此f(x)=12

答案:12

6.为鼓励节约用水,某市打算出台一项水费政策措施,规定:每季度每人用水量不超过5t时,每吨水费收基本价1.3元;若超过5t而不超过6t,则超过部分水费加收200%;若超过6t而不超过7t时,超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为xt(x≤7),试计算,本季度他应交多少水费?

解:用y表示本季度应交水费(单位:元).

当0≤x≤5时,y1=1.3x.

当5x≤6时,应把x分成两部分:5与(x-5)分别计算,第一部分收基本水费(1.3×5)元,第二部分由基本水费与加价水费组成,

即1.3(x-5)+1.3(x-5)×200%=1.3(x-5)(