8.2 函数与数学模型【导学案教师版】.docVIP

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第8章 函数应用

第02讲函数与数学模型

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课程标准

重难点

理解“指数爆炸”的含义；

掌握函数增长速度的差异；

掌握函数增长速度的比较；

理解并掌握函数增长速度的应用．

1.函数增长速度的比较

2.函数增长速度的应用

3.利用函数模型解决实际问题

4.实际问题中函数模型的选择问题

知识精讲

知识精讲

一、常见的几种函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

二次函数模型

f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

分段函数模型

f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1?x?，x∈D1,f2?x?，x∈D2,……,fn?x?，x∈Dn))

二、解决函数应用问题的一般步骤

(1)利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：

(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.

(2)这些步骤用框图表示如图：

【思考】一次函数模型、二次函数模型、幂函数模型的选取的标准是什么？它们的增长速度是如何变化的？

三、函数模型的应用

几种常见函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)

反比例函数模型

f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)

二次函数模型

f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数型函数模型

f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)

对数型函数模型

f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)

幂函数型模型

f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

参考答案

二、一次函数模型y＝kx＋b(k0)增长特点是直线上升，增长速度不变.

二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值容易求出，常常用于最优、最省等最值问题，幂函数y＝axn＋b(x0，n0，a0)随x的增大而增大，但增长的速度相对平稳，图象随n的变化而变化.

能力拓展

能力拓展

考法01一次函数模型

（1）一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．

（2）一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．

例1某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司有电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元

例1

(1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A，B两地的总运费为y元，求y关于x的函数解析式；

(2)若总运费不超过1000元，问能有几种调运方案？

【解析】(1)甲地调运x台到B地，则剩下(6－x)台电脑调运到A地；

乙地应调运(8－x)台电脑至B地，运往A地12－(8－x)＝(x＋4)台电脑(0≤x≤6，x∈N)，

则总运费y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，

所以y＝20x＋960(x∈N，且0≤x≤6)．

(2)若使y≤1000，即20x＋960≤1000，得x≤2.

又0≤x≤6，x∈N，所以0≤x≤2，x∈N.

所以x＝0,1,2，即有3种调运方案．

【跟踪训练】某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________.

【答案】y＝－x＋50(0x200)

【解析】设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由解得k＝－，b＝50，

∴y＝－x＋50(0x200).

考法02二次函数模型

利用二次函数求最值的方法及注意点

(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．

(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．

例2一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40cm与60cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积．

例2

【解析】设直角三角形为△ABC，AC＝40，BC＝60，矩形为CDEF，如图所示，设CD＝x，CF＝y，则由Rt△AFE∽Rt△EDB得，即，解得y＝40－x，

记剩下的残料面积为S，则