（人教A版）2021年新高二数学暑假讲义-第十五讲 导数与函数的零点.pdfVIP

第十五讲导数与函数的零点

【考点剖析】

考点一判断零点的个数

【例1】已知二次函数7U)的最小值为-,且关于X的不等式/U)WO的解集为{x|-lWxW3,

xGR}.

(1)求函数./U)的解析式；

(2)求函数8(》)=一1nX的零点个数.

解(l)；/(x)是二次函数，且关于X的不等式次x)WO的解集为{x|-1WXW3,xWR},

.,.设/(x)=a(x+l)(x-3)=or2—2or—3a,且a0.

/./x)min=f(1)=—o=­,a=\.

故函数,/(x)的解析式为—2x—3.

—2x—33

(2)由(1)知g(x)=-1nx=x—1nx—2,

3(x——3)

，g(x)的定义域为(0,+8),^(x)=l+^2—-=,令g(x)=0,得Xl=l,X2=3.

当X变化时，gx),g(x)的取值变化情况如下表：

X(0，1)1(1，3)3(3,+°0)

g(x)+0—0+

g(x)极大值极小值/

当0VxW3时，g(x)Wg(l)=—0,

3

555

当x3时，g(e)=e---20-22-1-22=90.

又因为g(x)在(3,+8)上单调递增，

因而g(x)在(3,+8)上只有1个零点，

故g(x)仅有1个零点.

规律方法利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法

(1)构建函数g(x)(要求g，(x)易求，g，(x)=0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导

数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图

象草图，数形结合求解函数零点的个数.

(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的

单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.

考点二已知函数零点个数求参数的取值范围

【例2】函数在尤=1处取得极值.

(1)求人x)的单调区间；

(2)若y=«x)一机一1在定义域内有两个不同的零点，求实数机的取值范围.

解(1)函数/U)=or+xlnx的定义域为(0,+°°).

/(x)=a+lnx+l,

因为/(l)=a+l=0,解得a=-1,

当a=-1时，«x)=­x+xlnx,

即/(x)=ln

x,令了(x)0,解得xl；

令/(x)0，解得0xl.

所以./U)在x=i处取得极小值，的单调递增区间为(I,+8),单调递减区间为(0,1).

(2)y=/(x)一加一1在(0,+8)内有两个不同的零点，可转化为y=*x)与y=m+l图象有两个不

同的交点.

由⑴知，危)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,y(x)min=_/U)=-l,

由题意得，m+1—1,

即m-2,①

当0xe口寸，y(x)=x(—1+lnx)0；当xe时，«x)0.

当x0且X-0时，./u)-*o；

当xf+8时，显然y(x)f+8.

由图象可知，团+10,即m—1,②

由①②可得一2m—1.

所以加的取值范围是(一2,-1).

规律方法与函数