专题22 数系的扩充及复数的运算（解析版）_1.docx

专题22

专题22数系的扩充及复数的运算

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备战2024高考数学一轮复习

专题22数系的扩充及复数的运算

命题解读

命题预测

复习建议

复数是高考必考的知识点之一，每年的高考都出关于复数的一个选择题，主要是针对复数的几何意义和复数的四则运算，以基础题目为主，是高考容易得分的一个知识点。

预计2024年的高考复数的考察还是以基础题为主，主要还是集中在复数的几何意义和四则运算上，稍加注意得分不难。

集合复习策略：

1.理解复数的有关概念和几何意义；

2.掌握复数的代数运算。

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一、复数的有关概念及几何意义

1.复数的有关概念

(1)复数的概念

形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数;若b≠0,则a+bi为虚数;若a=0且b≠0,则a+bi为纯虚数.?

(2)复数相等:a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R).?

(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭?a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).?

(4)复数的模:向量OZ=(a,b)的模r叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2

2.复数的几何意义

(1)复数z=a+bi(a,b∈R)←复平面内的点Z(a,b).

(2)复数z=a+bi(a,b∈R)←平面向量OZ=(a,b)(O为坐标原点).?

二、复数的代数运算

1.复数的加、减、乘、除运算法则

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则

加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;?

减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;?

乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;?

除法:z1z2=a+bic+di=

(2)复数加法的运算律

复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

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1.（2023全国理科甲卷2）设，则（）

A.-1 B.0· C.1 D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．

【详解】因为，

所以，解得：．

故选：C.

2.（2023全国文科甲卷2）（）

A. B.1 C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的四则运算求解即可.

【详解】

故选：C.

3.（2023全国理科乙卷）设，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.

【详解】由题意可得，

则.

故选：B.

4.（2023全国文科乙卷1）（）

A.1 B.2 C. D.5

【答案】C

【解析】

【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可.

【详解】由题意可得，

则.

故选：C.

5.（2023北京卷2）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.

【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，

由共轭复数的定义可知，.

故选：D

6.（2023全国Ⅰ卷）已知，则（）

A. B. C.0 D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．

【详解】因为，所以，即．

故选：A．

7.（2023全国Ⅱ卷）在复平面内，对应的点位于（）．

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为，

则所求复数对应的点为，位于第一象限.

故选：A.

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1．（2023·山东日照·三模）已知复数（其中为虚数单位），则（????）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的除法公式和复数的模即可求解.

【详解】知，

则，

故选：D.

2．（2023·广东佛山·统考一模）设复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】∵，则，

∴z在复平面内对应的点为，位于第三象限.

故选：C.

3．（2023·江苏南京·统考二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则为（????）

A．