专题28 椭圆的标准方程及几何性质（解析版）_1.docx

专题28

专题28椭圆的标准方程及几何性质

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专题28椭圆的标准方程及几何性质

命题解读

命题预测

复习建议

椭圆的标准方程及其几何性质是高考必考重点之一，对于椭圆知识的考察主要是椭圆的定义及标准方程，椭圆的几何性质，其中椭圆的几何性质考察主要是离心率问题。椭圆的另一个考察重点是与直线等等相结合的问题，主要涉及方程组联立，根的判别式，根与系数的关系，弦长等等问题。在出题上选择、填空、都有可能涉及，必考解答题，其中多以压轴题出现。

预计2024年的高考椭圆一如既往的还是考察重点，其中解答题的压轴题可能性还是比较大，对于这部分考察多以中高档题为主。

集合复习策略：

1.理解椭圆的定义以及椭圆的标准方程的形式；

2.掌握椭圆的简单几何性质。

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一、椭圆的标准方程

椭圆定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

椭圆标准方程：

焦点位置

在x轴上

在y轴上

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(ab0)

图形

焦点坐标

(±c,0)

(0，±c)

二、椭圆的几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(ab0)

图形

性质

范围

－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性

对称轴：x轴、y轴

对称中心：(0，0)

顶点

A1(－a，0)，A2(a，0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b，0)，B2(b，0)

轴

长轴A1A2的长为2a

短轴B1B2的长为2b

焦距

|F1F2|＝2c

离心率

e＝eq\f(c,a)，e∈(0，1)

a，b，c的关系

c2＝a2－b2

焦点坐标

(±c,0)

(0，±c)

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1.（2023全国Ⅱ卷5）已知椭圆左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（）．

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.

【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，

因为直线与椭圆相交于点，则，解得，

设到的距离到距离，易知，

则，，

，解得或（舍去），

故选：C.

2.（2023全国理科甲卷12）设O为坐标原点，为椭圆两个焦点，点P在C上，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；

方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；

方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．

【详解】方法一：设，所以，

由，解得：，

由椭圆方程可知，，

所以，，解得：，

即，因此．

故选：B．

方法二：因为①，，

即②，联立①②，

解得：，

而，所以，

即．

故选：B．

方法三：因为①，，

即②，联立①②，解得：，

由中线定理可知，，易知，解得：．

故选：B．

【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．

3.设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）

A.1 B.2 C.4 D.5

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；

方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．

【详解】方法一：因为，所以，

从而，所以．

故选：B.

方法二：

因为，所以，由椭圆方程可知，，

所以，又，平方得：

，所以．

故选：B.

4.（2023全国理科乙卷）已知椭圆的离心率是，点在上．

（1）求的方程；

（2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．

【答案】（1）

（2）证明见详解

【解析】

【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；

（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.

【小问1详解】

由题意可得，解得，

所以椭圆方程为.

【小问2详解】

由题意可知：直线的斜率存在，设，

联立方程，消去y得：，

则，解得，

可得，

因为，则直线，

令，解得，即,

同理可得，

则

，

所以线