专题35 导数与函数的极值、最值（解析版）_1.docx

专题35

专题35导数与函数的极值、最值

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备战2024高考数学一轮复习

专题35导数与函数的极值、最值

命题解读

命题预测

复习建议

利用导数研究函数的极值、最值是高考必考的重点知识点，已经是解决函数、不等式等问题的主要工具，在高考中常以各种题型出现，对于函数问题中含参问题的研究是高考出现频率较高的，试题难度比较大.

预计2024年的高考利用导数研究函数的极值、最值出题形式以新颖为主，灵活性较强，与函数、不等式等联系比较密切，难度以高档为主。

集合复习策略：

1.利用导数研究函数极值、最值；

2.体会导数与函数极值、最值的关系。

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一、利用导数研究函数的极值

1.函数的极小值:

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0.则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.?

2.函数的极大值:

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0.则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.?

极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.

二、利用导数研究函数的最值

1.在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.

2.若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.?

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1.（2023全国Ⅱ卷6）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）．

A. B.e C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．

【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，

设，所以，所以在上单调递增，

，故，即，即a的最小值为．

故选：C．

2.（2023北京卷20）设函数，曲线在点处的切线方程为．

（3）求的极值点个数．

【答案】（3）3个

【解析】

【分析】

（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数.

【小问3详解】

由（1）得，，

由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，

当时，，，即

所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，

此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；

所以在上有一个极小值点；

当时，在上单调递减，

则，故，

所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，

此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；

所以在上有一个极大值点；

当时，在上单调递增，

则，故，

所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，

此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；

所以在上有一个极小值点；

当时，，

所以，则单调递增，

所以在上无极值点；

综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.

【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解.

3.（2023全国Ⅱ卷22）（1）证明：当时，；

（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．

【答案】（1）证明见详解（2）

【解析】

【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；

（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.

【详解】（1）构建，则对恒成立，

则在上单调递增，可得，

所以；

构建，

则，

构建，则对恒成立，

则在上单调递增，可得，

即对恒成立，

则在上单调递增，可得，

所以；

综上所述：.

（2）令，解得，即函数的定义域为，

若，则，

因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

则在上单调递减，在上单调递增，

故是的极小值点，不合题意，所以.

当时，令

因为，

且，

所以函数在定义域内为偶函数，

由题意可得：，

（i）当时，取，，则，

由（1）可得，

且，

所以，

即当时，，则在上单调递增，

结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，

所以是的极小值点，不合题意；

（ⅱ）当时，取，则，

由（1）可得，

构建，

则，

且，则对恒成立，

可知在上单调递增，且，

所以在内存在唯一的零点，

当时，则，且，

则，

即当时，，则在上单调递减，

结合偶函数对称性可知：在上单调递增，

所以是的极大值点，符合题意；

综上所述：，即，