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矩阵的等价、相似与合同

张李盈步海林田喜峰

初学者常常会对矩阵的相似，等价，合同这三种关系感相同是它们相似的必要而非充分条件。

到迷惑，不能清楚地理解它们之间的联系和差别，本文首先ｎｎ１ｒ１１１

例：＝Ｌ二：ｌｕｌＪ，＝ｆＬ二：ＵｌｌＪ，Ｉ尽管，Ｂ有相同的特征值（相

讨论了矩阵这三种关系各自的本质意义；然后分析这三种关

系之间的区别和联系。同的特征多项式），但由于的线性无关的特征向量只有一个，

矩阵相似。等价。合同的本质意义及充要条件所以不与对角形矩阵相似。

设Ａ，Ｂ是两个矩阵，那么：（４）学习相似的主要目的是研究矩阵的相似对角化问题。

１．矩阵等价特征值和特征向量与矩阵的相似对角化密切相关，可对角化

与等价营矩阵能够经过初等变换变成矩阵；矩阵相似的本质是有相同的特征值。确更方阵可对角化的充要

营，Ｂ是同型矩阵且秩相等；条件是有个线性无关的特征向量。

营存在可逆矩阵尸，Ｑ，使得尸Ｑ＝Ｂ矩阵等价。合同与相似之间的联系和差别

注意，等价与初等变换有关。秩是矩阵等价关系的不变（１）等价关系最弱。合同与相似是特殊的等价关系，若

量，两个同型矩阵等价的本质是秩相等。两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定等价，反之不成立。

２．矩阵合同相似与合同不能互相推导，但是如果两个实对称矩阵是相似

的，那肯定是合同的。

（１）Ａ与合同营矩阵能够经过合同变换变成矩阵

营存在可逆矩阵Ｃ使得Ｃ＇ＡＣ＝；（２）等价，合同与相似都具有：反身性，对称性，传递

性，因此都是等价关系。

注意，秩相等是矩阵合同的必要条件，两个同级对称矩

（３）秩是矩阵等价的不变量；不变因子是相似的不变量；

阵合同的本质是秩相等且正惯性指数也相等。

特征值是可对角化矩阵相似的不变量；正负惯性指数是对称

（２）矩阵合同，则它们的秩相等，正惯性指数相等，反

矩阵合同的不变量。

之则不一定成立。

（４）对于实对称矩阵，特征值是相似的不变量，秩和正惯

（３）合同与二次型有关，同一数域上的二次型与对称矩

性指数（秩等于非零特征值的数目，正惯性指数等于正特征值

阵之间一一对应，因此矩阵合同一般针对的是对称矩阵。二

的数目）是合同的不变量，因此实对称矩阵相似则一定合同。

次型的标准形和有定性（相应对称矩阵的合同对角阵和有定

注意，一般隋况下，相似不一定合同，合同也不一定相似，两

性）与矩阵合同有密切关系。从有定性角度看，矩阵合同则

者不能互推。下