矩阵的等价,合同,相似的联系与区别 .pdfVIP

目录

摘要I

引言1

1矩阵间的三种关系1

1.1矩阵的等价关系1

1.2矩阵的合同关系1

1.3.矩阵的相似关系2

2矩阵的等价、合同和相似之间的联系3

3矩阵的等价、合同和相似之间的区别5

结束语6

参考文献6

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摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举

足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的

标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系.根据等价、合同和相似的联系的研

究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用

正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．

关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件

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引言：

在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和

矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以与每种关系的定义，性质，相关定理

与各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为

等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与

合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.

1矩阵间的三种关系

1.1矩阵的等价关系

sns

定义1两个矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的阶矩阵与可逆的

p

n阶矩阵Q，使BPAQ

由矩阵的等价关系，可以得到矩阵与等价必须具备的两个条件：

AB

（1）矩阵与必为同型矩阵（不要方阵）.

AB

sn

（2）存在阶可逆矩阵p和阶可逆矩阵Q,使得BPAQ.

性质1

（1）反身性：即AA.

（2）对称性：若AB，则BA

（3）传递性：即若AB，BC，则AC

Amnr(A)rPmQ

定理1若为矩阵，且，则一定存在可逆矩阵（阶）和

I0



nPAQrBIr

（阶），使得.其中为阶单位矩阵.



00r



mn

推论1设A、B是两mn矩阵，则AB当且仅当r(A)r(B).

1.2矩阵的合同关系

n