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矩阵合同的定义

篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别

一、基本概念与性质（一）等价：

1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则

称矩阵A与B等价，记为A

B

。

2、矩阵等价的充要条件：

AB{

同型，且人r(A)=r(B)

存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立

3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表

出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性

相关性却不相同。（二）合同：

1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得

A成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。2、

矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A

BBPAPB

T

二次

型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标

准型。（三）相似

1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP

成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。2、矩阵相似的性质：

A~B,A~B,A

A~B

TTkk1

~B(前提，A,B均可逆)

1

|E-A||EB|即A,B有相同的特征值（反之不成立）

r(A)=r(B)

tr(A)tr(B)即A,B的逆相等

|A|=|B|

3、矩阵相似的充分条件及充要条件：

①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：A~B(EA)(EB)二、矩阵相等、合同、相似的关

系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵

A(1,2,,n)，B(1,2,,m)

1、若向量组（1,2,,m）是向量组（1,2,,n）的极大线

性无关组,则有mn，即有两向量等价，而两向量组线性相关

性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩

阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。

2、若m=n，两向量组（1,2,,n）（1,2,,m）则有矩阵

A,B同型且r(A)r(B)

A~B,AB,ABr(A)r(B)AB

。

3、若ABr(A)r(B)两向量组秩相同，两向量组等价，即

有

AB(1,2,,n)(1,2,,n)

综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。（二）、

矩阵合同。相似，等价的关系。

1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等

价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。2、合

同、相似、等价之间的递推关系

①相似等价：A~②合同等价：A

B

A,B同型且r(A)r(B)

AB

BA,B同型且r(A)r(B)AB

③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条

件时可以Ⅰ、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B一定可以

合同于对角矩阵当

A~B

时，|EA||EB|二次型f(x)

XAX

T

与g(x)

XBX

T

有相同的

标准型，即二者有相同的正负惯性指数

即有A~

BABAB

ABAB

T

E使得PAPB即AB

Ⅱ、存在一个正交矩阵P，即PTP

BPAPP

T

1

则有

AP~A

B即有A

BA~B

Ⅲ、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P，则

A~B

时有

A~BABAB

Ⅳ、A~Br(A)r(B)、ABr(A)r(B)、ABr(A)r(B)

B,AB成立的条件。

下面讨论r(A)r(B)时A~B,A由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知存

在正交矩阵P时，有PT

T

P

1