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(完整版)高考三角函数经典解答题及答案

1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，

且a²+c²-b²=(1)求sin²(2A+C)+cos²B的值；(2)若b=2，求

△ABC面积的最大值。

解：(1)由余弦定理：cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=4/√115，得

sinB=√(1-cos²B)=3√(23)/23。由正弦定理

sin²(2A+C)+cos²B=4sin²B+cos²B=13/23。

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且

bcosC=3acosB-ccosB。(I)求cosB的值；(II)若BA·BC=2，且

b=√2，求a和c·b的值。

解：(I)由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故

sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得

sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin(B+C)=3sinAcosB，可

得sinA=3sinAcosB/sinB。又sinA≠0，因此cosB=1/3。

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3.已知向量m=(sinB,1-cosB)，向量n=(2,k)，且m与n所

成角为π/3，其中A、B、C是△ABC的内角。(1)求角B的

大小；(2)求sinA+sinC的取值范围。

解：(1)∠m与∠n所成角为π/3，且m·n=2sinB+k(1-

cosB)=2√3/2cosB+k√(1-cos²B)，又m·n=2cosB+k(1-cosB)，解

得k=4/3。由∠m与∠n所成角为π/3，可得3sinB(2+k)+2(1-

cosB)√(1+k²)=0，解得sinB=-2√(23)/23，cosB=3/23。由正弦定

理，sinA/a=sinB/b，sinC/c=sinB/b，可得sinA=sinB(a/b)，

sinC=sinB(c/b)，所以sinA+sinC=sinB(a/b+c/b)=2sinB=-

4√(23)/23，故sinA+sinC的取值范围为(-4√(23)/23,-4√(23)/23)。

已知向量m=(1,2sinA)，n=(sinA,1+cosA)，满足m//n，

b+c=3a。

（1）求A的大小；

解：（1）由m//n得2sinA-1-cosA=0，即2cos2A+cosA-

1=0。解得cosA=1/2或cosA=-1/2。因为A是△ABC的内角，

所以舍去cosA=-1/2的情况，得A=π/3。

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在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，C=2A，

cosA=9/16。

（1）求cosC和cosB的值；

解：（1）由cosC=cos2A=2cos2A-1=2×(9/16)2-1=-7/8，舍

去。由cosA=9/16得sinA=√(1-cos2A)=√(119/256)。由正弦定

理，b/√(119/256)=2R，其中R为△ABC的外接圆半径。又因

为BA·BC=c2-a2=(2RsinA)2-(2RcosA)2=4R2sin2A-4R2cos2A=-

4R2(7/16)，所以BA·BC=-7/427。由余弦定理，cosB=(a2+c2-

b2