专题14.3 因式分解的应用（压轴题专项讲练）（人教版）（原卷版）.docxVIP

专题14.3因式分解的应用

【典例1】已知a，b，c三个数两两不等，且有a2+b

【思路点拨】

a2+b2+mab=b2+c2+mbc=c2+a2+mca，得a2+b2

【解题过程】

解：∵a2

∴a2

即a2

∴a2

∴a+ca?c

∴a?ca+c+mb

∵a，b，c三个数两两不等，

∴a?c≠0，

∴a+c+mb=0①，

同理可得a+b+mc=0②，b+c+ma=0③，

当a+b+c≠0时，

①＋②＋③得，2a+b+c

∴2a+b+c

∴a+b+c2+m

∴2+m=0，

解得m=?2，

当a+b+c=0时，

∵a，b，c三个数两两不等，

∴a，b，c三个数中至少一个不是0，

设b≠0，

∴a+c=?b≠0,

∵a+c+mb=0，

∴?b+mb=0，

∴bm?1

∴m?1=0，

解得m=1，

综上可知，m的值为?2或1．

1．（2022秋·福建泉州·八年级校考期中）已知m，n均为正整数且满足mn?2m?3n?20=0，则m+n的最小值是（）

A．20 B．30 C．32 D．37

2．（2022春·广东揭阳·八年级统考期末）已知x2+x=1，那么x4

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

3．（2022春·湖南株洲·七年级株洲二中校考期中）已知abc，M=a2b+b2c+c2a，N=ab2+bc2+ca2，则M与N的大小关系是（?????）

A．MN B．M＜N C．M=N D．不能确定

4．（2023·全国·九年级专题练习）已知当x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m?n+2≠0，则当x=m+n+1时，多项式

A．439 B．1399 C．3

5．（2022春·重庆·九年级校联考期中）已知多项式A=x2+2y+m和B=y2?2x+n（

①当x=2且m+n=1时，无论y取何值，都有A+B≥0；

②当m=n=0时，A×B所得的结果中不含一次项；

③当x=y时，一定有A≥B；

④若m+n=2且A+B=0，则x=y；

⑤若m=n，A?B=?1且x，y为整数，则x+y=1

A．①②④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．③④⑤

6．（2022秋·七年级单元测试）正数a,b,c满足ab+2a+2b=bc+2b+2c=ac+2a+2c=12，那么a+2b+2

7．（2022秋·山东泰安·八年级校联考期中）已知a=2021x+2000，b=2021x+2001，c=2021x+2002，则多项式a2

8．（2023秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）已知a2=a+1，b2=b+1，且

9．（2023·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）若x≠y，且x2?4x+y=0，y2

10．（2023春·浙江·九年级专题练习）已知m2=2n+1，4n2=m+1

11．（2023秋·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期末）对于二次三项式x2+mx+n（m、

①若n=36，且x2+mx+n=x+a

②若m24n，则无论x为何值时，

③若x2+mx+n=x+3

④若n=36，且x2+mx+n=x+ax+b，其中a、

其中正确的有______．（请填写序号）

12．（2023春·江苏·七年级专题练习）求证：若4x?y是7的倍数，其中x、y都是整数，则8x

14．（2022春·四川成都·七年级校联考期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)

例如：(x?1)2+3、(x?2)2+2x、(12x?2)

请根据阅读材料解决下列问题：

（1）比照上面的例子，写出x2

（2）已知z?x+2y=4，zx+2xy+y2?6y+13=0

（3）当x，y何值时，代数式5x

15．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）若一个正整数a可以表示为a=(b+1)(b?2)，其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如28=(6+1)×(6?2)=7×4．

（1）“十字点”为7的“十字数”为；130的“十字点”为；

（2）若b是a的“十字点”，且a能被(b?1)整除，其中b为大于2的正整数，求a的值；

（3）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当m?n=18时，求p+q的值．

16．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：

在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．

对于x2

解法一：设x2+5x=y

=y+6

解法二：设x2+2=m，5x=n

=m+n+4

请按照上面介绍的方法解决下列问题：

（1）因式分解：x2

（2）因式分解：x+y?2xyx+y?2

（3）求证：多项式x