福建省莆田第六中学2024届下学期高三数学试题综合测试（二）考试试卷.doc

福建省莆田第六中学2024届下学期高三数学试题综合测试（二）考试试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z，则复数z的虚部为（）

A． B． C．i D．i

2．已知随机变量X的分布列如下表：

X

0

1

P

a

b

c

其中a，b，.若X的方差对所有都成立，则（）

A． B． C． D．

3．已知向量，则（）

A．∥ B．⊥ C．∥() D．⊥()

4．中，点在边上，平分，若，，，，则（）

A． B． C． D．

5．设函数，当时，，则（）

A． B． C．1 D．

6．定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

7．若复数是纯虚数，则实数的值为()

A．或 B． C． D．或

8．在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为()

A．5 B．6 C．7 D．9

9．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是

A．关于直线对称 B．关于点对称

C．周期为 D．在上是增函数

10．已知实数，满足，则的最大值等于()

A．2 B． C．4 D．8

11．函数的图象的大致形状是（）

A． B． C． D．

12．不等式组表示的平面区域为，则（）

A．， B．，

C．， D．，

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从地移动到地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从移动到最近的走法共有____种．

14．已知向量，，若满足，且方向相同，则__________．

15．函数在处的切线方程是____________.

16．已知函数，则的值为____

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线经过点且倾斜角为.

（1）求曲线的极坐标方程和直线的参数方程；

（2）已知直线与曲线交于，满足为的中点，求.

18．（12分）设函数f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立.

19．（12分）已知椭圆与抛物线有共同的焦点，且离心率为，设分别是为椭圆的上下顶点

（1）求椭圆的方程；

（2）过点与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点，当弦的中点落在四边形内（含边界）时，求直线的斜率的取值范围.

20．（12分）如图为某大江的一段支流，岸线与近似满足∥，宽度为．圆为江中的一个半径为的小岛，小镇位于岸线上，且满足岸线，．现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的水上通道（图中粗线部分折线段，在右侧），为保护小岛，段设计成与圆相切．设．

（1）试将通道的长表示成的函数，并指出定义域；

（2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？

21．（12分）在平面四边形(图①)中，与均为直角三角形且有公共斜边，设，∠，∠，将沿折起，构成如图②所示的三棱锥，且使=.

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求二面角的余弦值.

22．（10分）已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．

（1）求实数的值；

（2）用表示中的最小值，设函数，若函数

为增函数，求实数的取值范围．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出

【详解】

，

则复数z的虚部为.

故选：B.

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

2、D

【解析】

根据X的分布列列式求出期望,方差,再利用将方差变形为,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为,进而得出结论.

【详解】

由X的分布列可得X的期望为,

又,

所以X的方差

,

因为,所以当且仅当时,取最大值,

又对所有成立,

所以,解得,

故选:D.

【点睛】

本题综合考查了随机变量的期望?方差的求法,结合了概率?二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.

3、D