人教B版高中数学选择性必修第一册课后习题 第一章 1.2.4 二面角.docVIP

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1.2.4二面角

A级必备知识基础练

1.已知二面角α-l-β的两个半平面α与β的法向量分别为a,b,且a,b=π6

A.π6 B.

C.π6或

2.(北京八中高二期末)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则平面A1BC1与平面ABCD所成角的余弦值为()

A.63 B.

C.22 D.

3.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为 ()

A.45° B.135°

C.45°或135° D.90°

4.请根据所给的图形,把空白之处填写完整.

(1)直线与平面平行的性质定理(请用符号语言作答).

如图1,已知:a∥α,,?

求证:.?

(2)平面与平面垂直的性质定理的证明.

如图2,已知:α⊥β,AB∩CD=B,α∩β=CD,,,?

求证:AB⊥β.

证明:在β内引直线,垂足为B,则是二面角的平面角,由α⊥β,知,又AB⊥CD,BE和CD是β内的两条直线,所以AB⊥β.?

5.已知点O在二面角α-AB-β的棱上,点P在平面α内,且∠POB=60°.若直线PO与平面β所成的角为45°,则二面角α-AB-β的正弦值为.?

6.若两个平面α,β的法向量分别是u=(1,0,1),v=(-1,1,0),则这两个平面所成角的大小是.?

7.如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,F为PC的中点,求二面角C-BF-D的正切值.

8.如图所示,AE⊥平面ABCD,四边形AEFB为矩形,BC∥AD,BA⊥AD,AE=AD=2AB=2BC=4.

(1)求证:CF∥平面ADE;

(2)求平面CDF与平面AEFB所成角的余弦值.

B级关键能力提升练

9.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成角的余弦值为()

A.13 B.22 C.3

10.设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P-AC-B的平面角为γ,则()

A.βγ,αγ B.βα,βγ

C.βα,γα D.αβ,γβ

11.

如图,将菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C点,E点在线段AC上,若二面角A-BD-E与二面角E-BD-C的大小分别为30°和45°,则AEEC

A.12 B.66 C.2

12.

如图所示,将边长为a的正三角形ABC,沿BC边上的高线AD将△ABC折起.若折起后B,C间距离为a2,则二面角B-AD-C的大小为

13.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为.?

14.如图1,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2AD=4,P为AB的中点,对角线AC平分∠DAB,将△ACD沿AC折起到如图2中△ACD的位置.

(1)求证:PD⊥AC.

(2)若二面角B-AC-D为直二面角,M为线段AB上的点,且二面角A-DC-M与二面角M-DC-B大小相等,求出AMAB

15.(全国乙,理18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM.

(1)求BC;

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

16.

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D中,已知上下两底面为正方形,且边长均为1,侧棱AA1=2,E为BC中点,F为CD中点,G为BB1上一个动点.

(1)确定G点的位置,使得D1E⊥平面AFG;

(2)当D1E⊥平面AFG时,求二面角G-AF-E的平面角的余弦值.

C级学科素养创新练

17.图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.

(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

1.2.4二面角

1.C

2.A建立如图所示空间直角坐标系,

则A1(4,0,2),B(4,4,0),C1(0,4,2),

所以A1B=(0,4,-2),

设平面A1BC1的一个法向量为m=(x,y,z),

则A

令z=2,则m=(1,1,2).

易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),

所以cosm,n=m·n|m||n|

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