人教B版高中数学选择性必修第一册课后习题 第一章 1.2.3 直线与平面的夹角.docVIP

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1.2.3直线与平面的夹角

A级必备知识基础练

1.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若a,n=2π3

A.2π3 B.π3 C.π

2.直线l的方向向量s=(1,1,2),平面α的法向量n=(1,-3,0),则直线l与平面α的夹角的余弦值为()

A.-1515 B.

C.-21015 D.

3.

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为()

A.π6 B.

C.π2 D.

4.正四棱锥S-ABCD中,SA=AB=2,则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为()

A.36 B.66 C.3

5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.?

6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.?

7.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为.?

B级关键能力提升练

8.已知向量a=(2,-3,3)是直线l的方向向量,向量n=(1,0,0)是平面α的法向量,则直线l与平面α的夹角为()

A.30° B.45° C.60° D.90°

9.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为()

A.60° B.90°

C.45° D.以上都不对

10.AB∥α,AA⊥α,A是垂足,BB是α的一条斜线段,B为斜足,若AA=9,BB=63,则直线BB与平面α的夹角的大小为.?

11.如图,圆锥的高PO=2,底面☉O的直径AB=2,C是圆上一点,且∠CAB=30°,D为AC的中点,则直线OC和平面PAC的夹角的余弦值为.?

12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,在侧棱CC1上求一点P,使得直线AP与平面BDD1B1的夹角的正切值为32.

1.2.3直线与平面的夹角

1.C线面角的范围是0,π2.

∵a,n=2π3,∴l与α的法向量所在直线所成角为π

∴l与α的夹角为π6

2.D设直线l与平面α的夹角为θ0≤θ≤π2,则sinθ=|coss,n|=1×1+1×(-3)

∴直线l与平面α的夹角的余弦值为21015

3.

B以D为原点建立空间直角坐标系,如图,

则DB=(1,1,0),DE=0,1,12,

设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),∴DB·n=0,DE·n=0,

可得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而BA1=(0,-1,1),∴cosBA1,n=1+22

∴直线A1B与平面BDE的夹角为60°.

4.C建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

由图知SO=SA

由题得A(1,-1,0),C(-1,1,0),B(1,1,0),S(0,0,2),

∴CA=(2,-2,0),BS=(-1,-1,2),CS=(1,-1,2).设平面SBC的一个法向量n=(x,y,z),

则n

令z=2,得x=0,y=2,∴n=(0,2,2).

设直线AC与平面SBC所成的角为θ,

则sinθ=|cosn,AC|=42

5.23

设AD=2,易知AD∥BC,

∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角.在Rt△ADE中,∵DE=5,AD=2,∴AE=3,

∴cos∠DAE=ADAE

6.33

则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的一个法向量为DB1=(1,1,1).又

则sinDB1,BB

7.

104设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图,则C1(0,1,1),A3

又平面BB1C1C的一个法向量n=(1,0,0),设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ.

sinθ=|cosn,AC1|=

∴cosθ=1-

8.Acosa,n=a·

9.B以点D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

由题意知A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,0),

所以A1E=(0,1,-1),D1

设平面A1ED1的一个法向量为n=(x,y,z),则n

令z=1,得n=(0,1,1).设直线与平面A1ED1所成角为θ,所以sinθ=|cosn,EA|=|n

又因为0°≤θ≤90°,

所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.故选B.

10.60°

11.73设点O到平面PAC的距离为d,设直线OC和平面PAC所成角为α,则由等体积法得,V三棱锥O-PAC=V三棱锥P-OAC,即13S△PAC·d=1