人教B版高中数学选择性必修第一册课后习题 第一章 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量.docVIP

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1.2空间向量在立体几何中的应用

1.2.1空间中的点、直线与空间向量

A级必备知识基础练

1.已知l1的方向向量为v1=(1,2,3),l2的方向向量为v2=(λ,4,6),若l1∥l2,则λ等于()

A.1 B.2 C.3 D.4

2.空间中异面直线a与b所成角的取值范围是 ()

A.[0,π] B.(0,π)

C.0,π

3.空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD的位置关系是()

A.平行 B.垂直

C.相交但不垂直 D.无法确定

4.直线l1与l2的方向向量分别为a1,a2,若a1⊥a2,则l1与l2的位置关系为.?

5.如图,三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,且∠O1OB=60°,∠AOB=90°,OB=OO1=2,OA=3,求异面直线A1B与O1A所成角的余弦值.

B级关键能力提升练

6.已知直线l1的方向向量a=(2,-3,5),直线l2的方向向量b=(-4,x,y),若两直线l1∥l2,则x,y的值分别是()

A.6和-10 B.-6和10

C.-6和-10 D.6和10

7.直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,∠BAC=60°,则异面直线BA1和AC1所成角的余弦值为()

A.32 B.34 C.1

8.

如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,且SA=AB=BC=1,则异面直线SB与AC之间的距离为.?

9.

如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.

以上四个结论中,正确结论的序号是.?

10.

如图,在四面体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1,设P为AC的中点,Q在AB上且AB=3AQ,证明:PQ⊥OA.

1.2.1空间中的点、直线与空间向量

1.B由l1∥l2,得v1∥v2,得1λ

2.C根据异面直线所成角定义,空间中异面直线a与b所成角的取值范围是0,

3.A∵空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),∴AB=(-2,-2,2),CD=(1,1,-1),∴AB=-2CD,∴直线AB与CD平行.故选A.

4.垂直

5.解以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(3,0,0),B(0,2,0),A1(3,1,3),O1(0,1,3),

所以A1B=(-3,1,-3),O1A=(

设所求的角为α,

则cosα=|A

即异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为17

6.A由两直线l1∥l2,得两向量a,b平行,即2-

7.C因为AB=AC,∠BAC=60°,所以△ABC是等边三角形.

取AC的中点D,以点D为原点,建立空间直角坐标系如图.

设AB=2,则B(3,0,0),A(0,-1,0),A1(0,-1,2),C1(0,1,2),

所以BA1=(-3,-1,2),AC1=(0,2,2),|BA1|=2

所以异面直线BA1和AC1所成角的余弦值为cosθ=|B

8.33构造如图所示正方体.取AB的中点O,连接OD交AC于点E,连接OM交SB于点F,由平面几何知识可知,OF=13OM,OE=13OD,所以EF

又因为AC⊥BD,AC⊥BM,BD∩BM=B,BD?平面BDM,BM?平面BDM,

所以AC⊥平面BDM,AC⊥DM,

因为EF∥13DM,所以AC⊥

同理可证SB⊥DM,所以SB⊥EF.

所以EF是异面直线AC和SB的公垂线段.所以EF=13DM=3

9.②③④还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE与MN为垂直.

10.证明如图,连接OP,OQ,PQ,取O为坐标原点,过点O作OD⊥OA,以OA,OD,OC所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示).

则A(1,0,0),C(0,0,1),B-12,32

∵P为AC中点,∴P12,0,12.

∴AB=-32,32,0,又由已知,可得AQ=13AB=-12,36,0

∴PQ=OQ-OP=0,36

∵PQ·OA=0,∴PQ⊥