1.1.1 空间向量及其线性运算（解析版）.docx

第一章《空间向量与立体几何》

1.1.1空间向量及其线性运算

【划重点】

1．理解空间向量的有关概念.

2．类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.

3．理解向量共线、向量共面的定义.

4．掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面．

【知识梳理】

知识点一空间向量的概念

1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．

注：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．

2．长度或模：向量的大小．

3．表示方法：

①几何表示法：空间向量用有向线段表示；

②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.

4．几类特殊的空间向量

名称

定义及表示

零向量

长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量

模为1的向量称为单位向量

相反向量

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a

共线向量(平行向量)

如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a

相等向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量

知识点二空间向量的线性运算

空间向量的线性运算

加法

a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))

减法

a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))

数乘

当λ0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；

当λ0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；

当λ＝0时，λa＝0

运算律

交换律：a＋b＝b＋a；

结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；

分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.

知识点三共线向量

1．空间两个向量共线的充要条件

对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.

2．直线的方向向量

在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．

知识点四共面向量

1．共面向量

如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．

2．向量共面的充要条件

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，

使p＝xa＋yb.

【例题详解】

一、向量概念的应用

例1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是（????）

A．方向相反的两个向量是相反向量

B．空间中任意两个单位向量必相等

C．若向量满足，则

D．相等向量其方向必相同

【答案】D

【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.

【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；

单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；

向量不能比较大小，故C错误；

相等向量其方向必相同，故D正确；

故选：D.

(2)下列命题中，正确的是（????）.

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】根据向量模长的定义以及向量的定义即可逐一判断.

【详解】对于A;比如,不相等，但，故A错误；

对于B;向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，所以B错误；

对于C;向量相等，则其模长相等，方向相同，故C正确；

对于D；若，，但不相等，故D错误；

故选：C

跟踪训练1(1)下列关于空间向量的说法中错误的是（????）

A．零向量与任意向量平行

B．任意两个空间向量一定共面

C．零向量是任意向量的方向向量

D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量

【答案】C

【分析】根据个选项，可判断选项A、B、D正确，选项C，零向量方向是无限的，但是任意向量方向是确定的，故可作出判断.

【详解】由已知，

选项A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确；

选项B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确；

选项C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，该选项错误；

选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确.

故选：C.

(2)给出下列命题：

①将空间中所有的单位向量平移到同一